20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Limites des fonctions : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Limites en l’infini

Quelle est la limite de (3x²−x+1)/(x²+2) lorsque x → +∞ ?

  1. 0
  2. 1
  3. 3
  4. +∞
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Réponse C : 3

En divisant numérateur et dénominateur par x², on obtient (3−1/x+1/x²)/(1+2/x²), qui tend vers 3.

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QUESTION 2 · Limites à gauche et à droite

Quelle est la limite de 1/x lorsque x → 0 par valeurs positives ?

  1. −∞
  2. 0
  3. 1
  4. +∞
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Réponse D : +∞

Un nombre positif de plus en plus proche de zéro a un inverse positif arbitrairement grand.

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QUESTION 3 · Limites à gauche et à droite

Quelle est la limite de 1/x lorsque x → 0 par valeurs négatives ?

  1. −∞
  2. +∞
  3. 0
  4. −1
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Réponse A : −∞

L’inverse reste négatif et sa valeur absolue devient arbitrairement grande.

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QUESTION 4 · Limites à gauche et à droite

Si la limite à gauche de f en a vaut 1 et celle à droite vaut 2, alors :

  1. La limite de f en a vaut 1,5.
  2. f n’a pas de limite en a.
  3. La limite de f en a vaut 1.
  4. La limite de f en a vaut 2.
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Réponse B : f n’a pas de limite en a.

Une limite en a impose la même valeur des deux côtés. Ici, 1 et 2 sont distincts.

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QUESTION 5 · Limites en un point — Asymptotes verticales

Si f(x) → +∞ lorsque x → 2⁺, quelle droite est une asymptote verticale ?

  1. y = 2
  2. y = x + 2
  3. x = 2
  4. x = 0
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Réponse C : x = 2

Une limite infinie en une abscisse finie a correspond à l’asymptote verticale x = a.

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QUESTION 6 · Limites en l’infini

Si f(x) → 4 lorsque x → +∞, quelle droite est une asymptote horizontale à droite ?

  1. x = 4
  2. y = x + 4
  3. y = 0
  4. y = 4
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Réponse D : y = 4

Une limite finie L à l’infini donne l’asymptote horizontale y = L.

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QUESTION 7 · Opérations sur les limites et formes indéterminées

Laquelle de ces formes est indéterminée ?

  1. ∞ − ∞
  2. (+∞) + (+∞)
  3. 2 + (+∞)
  4. 3 × (+∞)
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Réponse A : ∞ − ∞

Dans une différence de deux quantités tendant vers +∞, leur vitesse relative est déterminante : la seule forme ne permet pas de conclure.

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QUESTION 8 · Cinq techniques pour lever les formes indéterminées

Quelle est la limite de (x²−1)/(x−1) lorsque x → 1 ?

  1. 0
  2. 2
  3. 1
  4. +∞
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Réponse B : 2

Pour x ≠ 1, x²−1 = (x−1)(x+1). Le quotient vaut x+1 et tend vers 2.

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QUESTION 9 · Cinq techniques pour lever les formes indéterminées

Quelle est la limite de (√(1+x)−1)/x lorsque x → 0 ?

  1. 0
  2. 1
  3. 1/2
  4. 2
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Réponse C : 1/2

Après multiplication par le conjugué, le quotient vaut 1/(√(1+x)+1), qui tend vers 1/2.

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QUESTION 10 · Cinq techniques pour lever les formes indéterminées

Quelle est la limite de √(x²+x)−x lorsque x → +∞ ?

  1. 0
  2. 1
  3. +∞
  4. 1/2
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Réponse D : 1/2

En rationalisant, on obtient x/(√(x²+x)+x) = 1/(√(1+1/x)+1), qui tend vers 1/2.

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QUESTION 11 · Limites en l’infini

Quelle est la limite de 2x³−5x²+1 lorsque x → −∞ ?

  1. −∞
  2. +∞
  3. 0
  4. 1
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Réponse A : −∞

Le terme dominant est 2x³. Il tend vers −∞ lorsque x → −∞.

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QUESTION 12 · Limites en l’infini

Quelle est la limite de (x+1)/(x²+1) lorsque x → +∞ ?

  1. 1
  2. 0
  3. +∞
  4. −1
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Réponse B : 0

Après division par x², le numérateur tend vers 0 et le dénominateur vers 1.

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QUESTION 13 · Croissances comparées

Quelle est la limite de ln(x)/x lorsque x → +∞ ?

  1. 1
  2. +∞
  3. 0
  4. −∞
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Réponse C : 0

La croissance de x domine celle de ln(x), donc ln(x)/x tend vers 0.

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QUESTION 14 · Croissances comparées

Quelle est la limite de eˣ/x² lorsque x → +∞ ?

  1. 0
  2. 1
  3. 2
  4. +∞
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Réponse D : +∞

L’exponentielle domine toute puissance positive de x. Le quotient tend vers +∞.

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QUESTION 15 · Théorèmes de comparaison

Si 2−1/x ≤ f(x) ≤ 2+1/x pour x ≥ 1, quelle est la limite de f(x) en +∞ ?

  1. 2
  2. 0
  3. 1
  4. +∞
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Réponse A : 2

Les deux bornes tendent vers 2 ; le théorème des gendarmes donne la même limite pour f.

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QUESTION 16 · Asymptotes obliques

Pour f(x)=2x+3+1/x, quelle est l’asymptote oblique en +∞ ?

  1. y = 2x
  2. y = 2x + 3
  3. y = 3x + 2
  4. x = 0
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Réponse B : y = 2x + 3

f(x)−(2x+3)=1/x tend vers 0. La droite y=2x+3 est donc l’asymptote oblique.

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QUESTION 17 · Limites en un point — Asymptotes verticales

Quelle est la limite de 1/(x−2)² lorsque x → 2 ?

  1. −∞
  2. 0
  3. +∞
  4. Elle diffère selon le côté d’approche.
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Réponse C : +∞

Le carré est positif des deux côtés et tend vers zéro. Son inverse tend donc vers +∞.

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QUESTION 18 · Règles opératoires

On a f(x) → 2 et g(x) → −3. Quelle est la limite de f(x)g(x) ?

  1. −1
  2. 6
  3. 1
  4. −6
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Réponse D : −6

Les deux limites sont finies, donc la limite du produit est leur produit : 2 × (−3) = −6.

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QUESTION 19 · Cinq techniques pour lever les formes indéterminées

Quelle est la limite de (x²−4)/(x−2) lorsque x → 2 ?

  1. 4
  2. 0
  3. 2
  4. +∞
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Réponse A : 4

Pour x ≠ 2, le quotient se simplifie en x+2, d’où la limite 4.

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QUESTION 20 · Théorèmes de comparaison

Si f(x) ≥ x² pour tout x ≥ 1, que peut-on conclure lorsque x → +∞ ?

  1. f(x) → 0.
  2. f(x) → +∞.
  3. f(x) → 1.
  4. f(x) a une limite finie.
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Réponse B : f(x) → +∞.

La minoration par x², qui tend vers +∞, impose f(x) → +∞.

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