20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Continuité des fonctions : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Continuité en un point

f est continue en a exactement lorsque :

  1. La limite de f(x) en a vaut toujours 0.
  2. f est nécessairement dérivable en a.
  3. f est nécessairement croissante près de a.
  4. La limite de f(x) en a existe et vaut f(a).
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Réponse D : La limite de f(x) en a existe et vaut f(a).

La continuité relie la valeur de la fonction à sa limite au point considéré.

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QUESTION 2 · Continuité des fonctions usuelles

Sur quel ensemble la fonction polynomiale f(x)=x³−2x+1 est-elle continue ?

  1. ℝ
  2. ]0 ; +∞[ seulement
  3. ℝ privé de 0
  4. [−1 ; 1] seulement
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Réponse A : ℝ

Toute fonction polynomiale est continue sur ℝ.

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QUESTION 3 · Opérations préservant la continuité

Sur quel ensemble f(x)=1/(x−2) est-elle continue ?

  1. ℝ
  2. ℝ privé de 2
  3. ]2 ; +∞[ seulement
  4. ℝ privé de 0
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Réponse B : ℝ privé de 2

Un quotient de fonctions continues est continu là où son dénominateur ne s’annule pas : ici x ≠ 2.

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QUESTION 4 · Continuité des fonctions usuelles

La fonction x ↦ √x est continue sur :

  1. ℝ
  2. ]0 ; +∞[ seulement
  3. [0 ; +∞[
  4. ]−∞ ; 0]
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Réponse C : [0 ; +∞[

La racine carrée est définie et continue sur [0 ; +∞[, avec continuité à droite en 0.

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QUESTION 5 · Prolongement par continuité

Pour x ≠ 1, f(x)=(x²−1)/(x−1). Quelle valeur faut-il donner à f(1) pour assurer la continuité ?

  1. 0
  2. 1
  3. −2
  4. 2
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Réponse D : 2

Pour x ≠ 1, f(x)=x+1, donc la limite en 1 vaut 2. On pose f(1)=2.

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QUESTION 6 · Continuité en un point

On pose f(x)=ax+1 si x<2 et f(x)=5 si x≥2. Pour quelle valeur de a est-elle continue en 2 ?

  1. 2
  2. 1
  3. 3
  4. 5
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Réponse A : 2

La limite à gauche est 2a+1. Elle doit égaler f(2)=5, d’où 2a+1=5 et a=2.

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QUESTION 7 · Lien entre continuité et dérivabilité

Quelle implication est toujours vraie ?

  1. Continue en a ⇒ dérivable en a.
  2. Dérivable en a ⇒ continue en a.
  3. Croissante ⇒ dérivable partout.
  4. Bornée ⇒ continue partout.
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Réponse B : Dérivable en a ⇒ continue en a.

La dérivabilité en un point entraîne la continuité en ce point. La réciproque est fausse.

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QUESTION 8 · Lien entre continuité et dérivabilité

La fonction f(x)=valeur absolue de x est, en 0 :

  1. Dérivable mais non continue.
  2. Ni continue ni dérivable.
  3. Continue mais non dérivable.
  4. Dérivable de dérivée nulle.
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Réponse C : Continue mais non dérivable.

f(x) tend vers f(0)=0. Les pentes à gauche et à droite valent respectivement −1 et 1, donc la dérivée n’existe pas.

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QUESTION 9 · Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Une fonction continue sur [a ; b] prend nécessairement :

  1. Toute valeur réelle.
  2. Une seule valeur sur l’intervalle.
  3. Uniquement les valeurs f(a) et f(b).
  4. Toute valeur comprise entre f(a) et f(b).
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Réponse D : Toute valeur comprise entre f(a) et f(b).

Le TVI garantit que toutes les valeurs intermédiaires entre les deux images sont atteintes.

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QUESTION 10 · Corollaire — Existence de zéros

Si f est continue sur [a ; b] et f(a)f(b)<0, alors :

  1. f possède au moins un zéro dans ]a ; b[.
  2. f possède exactement deux zéros.
  3. f possède nécessairement un seul zéro.
  4. f ne possède aucun zéro.
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Réponse A : f possède au moins un zéro dans ]a ; b[.

Les valeurs aux bornes sont de signes opposés. Le TVI garantit au moins un passage par zéro, sans assurer l’unicité.

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QUESTION 11 · TVI et unicité

Quelle hypothèse supplémentaire garantit l’unicité du zéro donné par le TVI ?

  1. La seule continuité en a.
  2. La stricte monotonie sur [a ; b].
  3. La seule majoration de f.
  4. L’existence d’un maximum.
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Réponse B : La stricte monotonie sur [a ; b].

Une fonction strictement monotone ne prend une même valeur qu’une seule fois.

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QUESTION 12 · TVI et unicité

Combien de solutions l’équation x³+x−1=0 possède-t-elle sur [0 ; 1] ?

  1. Aucune.
  2. Exactement deux.
  3. Une seule.
  4. Une infinité.
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Réponse C : Une seule.

f(0)=−1 et f(1)=1 assurent l’existence. De plus, f′(x)=3x²+1>0, donc f est strictement croissante et le zéro est unique.

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QUESTION 13 · Méthode de dichotomie

Un intervalle initial de longueur 8 est divisé par deux à chaque étape. Quelle est sa longueur après trois étapes ?

  1. 2
  2. 4
  3. 1/2
  4. 1
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Réponse D : 1

Après trois divisions par deux, la longueur vaut 8/2³=1.

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QUESTION 14 · Méthode de dichotomie

Pour f(x)=x²−2 sur [1 ; 2], quel intervalle la première étape de dichotomie conserve-t-elle ?

  1. [1 ; 1,5]
  2. [1,5 ; 2]
  3. [1 ; 1,25]
  4. [0 ; 1]
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Réponse A : [1 ; 1,5]

Au milieu 1,5, f(1,5)=0,25>0, alors que f(1)=−1<0. On conserve [1 ; 1,5].

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QUESTION 15 · Théorème des bornes atteintes

Une fonction continue sur un segment [a ; b] est :

  1. Toujours monotone.
  2. Bornée et atteint son minimum et son maximum.
  3. Toujours positive.
  4. Toujours dérivable.
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Réponse B : Bornée et atteint son minimum et son maximum.

La continuité sur un segment garantit des bornes finies effectivement atteintes.

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QUESTION 16 · Théorème des bornes atteintes

Pourquoi f(x)=1/x sur ]0 ; 1] ne contredit-elle pas le théorème des bornes atteintes ?

  1. Elle est discontinue en tout point du domaine.
  2. Elle est négative.
  3. Son domaine n’est pas un segment fermé.
  4. Elle est constante.
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Réponse C : Son domaine n’est pas un segment fermé.

]0 ; 1] n’est pas fermé à gauche. La fonction peut donc être continue sur ce domaine tout en étant non bornée.

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QUESTION 17 · Prolongement par continuité

Pour x ≠ 0, f(x)=sin(x)/x. Quelle valeur assure son prolongement continu en 0 ?

  1. 0
  2. −1
  3. 2
  4. 1
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Réponse D : 1

La limite usuelle de sin(x)/x en 0 vaut 1. Il faut donc définir f(0)=1.

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QUESTION 18 · Continuité à gauche et à droite

f est définie au voisinage de a. Si ses limites à gauche et à droite valent toutes deux f(a), alors :

  1. f est continue en a.
  2. f est nécessairement dérivable en a.
  3. f est nécessairement constante.
  4. f est nécessairement strictement croissante.
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Réponse A : f est continue en a.

L’accord des deux limites latérales avec la valeur au point caractérise la continuité en a.

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QUESTION 19 · Opérations préservant la continuité

Si f est continue en a et g continue en f(a), alors :

  1. f et g sont nécessairement dérivables.
  2. g composée avec f est continue en a.
  3. g composée avec f est constante.
  4. g composée avec f est toujours croissante.
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Réponse B : g composée avec f est continue en a.

La continuité se conserve par composition lorsque g est continue à la valeur f(a).

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QUESTION 20 · Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)

Pour f(x)=x²−2 sur [1 ; 2], le TVI prouve l’existence d’un zéro car :

  1. f(1) et f(2) sont tous deux positifs.
  2. f est décroissante sur [1 ; 2].
  3. f est continue, f(1)=−1 et f(2)=2.
  4. f(1)=f(2).
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Réponse C : f est continue, f(1)=−1 et f(2)=2.

Un polynôme est continu ; ses valeurs −1 et 2 encadrent 0. Le TVI s’applique donc.

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