CHAPITRE 03 · TERMINALE

Continuité des fonctions

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Le critère en un point
  2. Fonctions usuelles
  3. Raccordement par morceaux
  4. Vérifier les trois valeurs
  5. Valeurs intermédiaires
  6. Prouver l’existence
  7. Prouver l’unicité
  8. Approcher la solution
  9. Une valeur à choisir
  10. Combler le point manquant
  11. Un graphique et une preuve
  12. Quand le théorème ne suffit pas
  13. Le réflexe à retenir

Le critère en un point

f continue en a⟺lim⁡x→af(x)=f(a)f\text{ continue en }a\quad\Longleftrightarrow\quad\lim_{x\to a}f(x)=f(a)

La continuité relie la limite à la valeur réelle de la fonction. Il faut que le point appartienne au domaine, que la limite existe et qu’elle soit égale à la valeur au point. L’image d’une courbe sans rupture donne une intuition, mais ce critère fournit la justification.

Fonctions usuelles

P(x) polynoˆme⟹P continue sur RP(x)\text{ polynôme}\quad\Longrightarrow\quad P\text{ continue sur }\mathbb R

Les polynômes sont continus sur l’ensemble des réels. Les fonctions rationnelles sont continues là où leur dénominateur ne s’annule pas. Les sommes, produits et compositions de fonctions continues restent continus sur les domaines où les opérations sont définies. Commencez donc par identifier la famille de la fonction.

Raccordement par morceaux

f(x)={x2,x≤12x−1,x>1f(x)=\begin{cases}x^2,&x\leq1\\2x-1,&x>1\end{cases}

Une fonction définie par morceaux demande une vérification au raccordement. Ici, chaque expression est continue sur son morceau. Au point un, la première donne un. La limite à droite de deux x moins un vaut également un. Il reste à comparer explicitement ces valeurs avec la limite à gauche.

Vérifier les trois valeurs

lim⁡x→1−f(x)=1=f(1)=lim⁡x→1+f(x)\lim_{x\to1^-}f(x)=1=f(1)=\lim_{x\to1^+}f(x)

Les deux limites latérales et la valeur au point sont égales : la fonction est continue en un. Si une seule diffère, le raccordement échoue. Ne confondez pas la continuité avec la dérivabilité : une courbe continue peut présenter un angle, comme la valeur absolue en zéro.

Valeurs intermédiaires

f(a)≤k≤f(b)⟹∃c∈[a,b], f(c)=kf(a)\leq k\leq f(b)\quad\Longrightarrow\quad\exists c\in[a,b],\ f(c)=k

Si une fonction est continue sur un intervalle fermé, elle prend toutes les valeurs comprises entre ses valeurs aux extrémités. C’est le théorème des valeurs intermédiaires. La formule ci-dessus suppose les valeurs extrêmes dans cet ordre ; si elles sont inversées, on inverse simplement les inégalités.

Prouver l’existence

f(x)=x3+x−1,f(0)=−1,f(1)=1f(x)=x^3+x-1,\quad f(0)=-1,\quad f(1)=1

Cherchons une solution de x cube plus x moins un égal zéro. La fonction est polynomiale, donc continue sur zéro, un. Les valeurs aux extrémités sont de signes opposés. Zéro est compris entre elles : il existe au moins une solution dans l’intervalle ouvert zéro, un.

Prouver l’unicité

f′(x)=3x2+1>0f'(x)=3x^2+1>0

L’existence ne garantit pas l’unicité. Pour cette fonction, la dérivée est strictement positive : la fonction est strictement croissante. Elle ne peut donc prendre deux fois la valeur zéro. En réunissant continuité, changement de signe et stricte monotonie, on établit qu’il existe exactement une solution.

Approcher la solution

f(0,5)=−0,375,f(0,75)=0,171875f(0{,}5)=-0{,}375,\quad f(0{,}75)=0{,}171875

La solution est entre zéro virgule cinq et zéro virgule soixante-quinze. On peut ensuite couper cet intervalle en deux et garder la moitié où les signes aux bornes sont opposés. Cette méthode de dichotomie donne des encadrements successifs, sans inventer une formule exacte pour la solution.

Application guidée et entraînement

Une valeur à choisir

g(x)=x2−4x−2(x≠2)g(x)=\frac{x^2-4}{x-2}\quad(x\ne2)

La fonction est définie autour de deux, mais pas en deux. Nous cherchons s’il est possible de lui attribuer une valeur à cet endroit pour la rendre continue. On appelle cela un prolongement par continuité. La première étape consiste à calculer la limite de la fonction au point manquant, et non à choisir une valeur au hasard.

Combler le point manquant

g(x)=x+2 (x≠2),g(2)=4g(x)=x+2\ (x\ne2),\quad g(2)=4

Après factorisation et simplification, la fonction vaut x plus deux hors du point deux. Sa limite en deux vaut donc quatre. En fixant g de deux égal quatre, on obtient une fonction continue en deux. Toute autre valeur laisserait une rupture. Cette valeur est imposée par la limite : elle n’est pas un paramètre libre.

Un graphique et une preuve

f(x)=x3+x−1f(x)=x^3+x-1

Revenons à l’équation du premier exemple. La courbe traverse l’axe horizontal entre zéro et un et semble ne le rencontrer qu’une fois. Cette lecture fournit une conjecture. Pour la démontrer, nous avons utilisé la continuité pour l’existence, puis la stricte croissance pour l’unicité. Dans une copie, ces deux arguments doivent être clairement séparés.

Quand le théorème ne suffit pas

h(x)=x2−1sur [−2,2]h(x)=x^2-1\quad\text{sur }[-2,2]

La fonction x carré moins un est continue et possède deux racines, moins un et un. Pourtant, ses valeurs aux deux extrémités de l’intervalle sont positives. Des signes opposés aux bornes sont une condition suffisante pour prouver une racine, mais pas une condition nécessaire. Quand ils sont identiques, le théorème sous cette forme ne permet simplement pas de conclure.

Le réflexe à retenir

Continuiteˊ + signes opposeˊs ⇒ existence\text{Continuité}\ +\ \text{signes opposés}\ \Rightarrow\ \text{existence}

Avant d’appliquer le théorème, écrivez l’intervalle et justifiez la continuité. Puis calculez les valeurs aux bornes. Pour affirmer une solution unique, ajoutez une preuve de stricte monotonie. Question de contrôle : un changement de signe sans continuité suffit-il ? Non : un sur x change de signe autour de zéro sans jamais s’annuler.