CHAPITRE 04 · TERMINALE

Dérivation

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Mesurer une variation
  2. Définir le nombre dérivé
  3. Écrire la tangente
  4. Calculer sans confusion
  5. Dériver une composée
  6. Passer aux variations
  7. Exemple guidé
  8. Reconnaître un extremum
  9. Optimiser une aire
  10. Chercher le maximum
  11. Interpréter le résultat
  12. À vous de dériver
  13. Votre méthode de travail

Mesurer une variation

f(a+h)−f(a)h(h≠0)\frac{f(a+h)-f(a)}h\quad(h\ne0)

Le taux d’accroissement mesure la variation moyenne de la fonction entre deux points. On divise la différence des images par la différence des abscisses. Géométriquement, c’est la pente d’une sécante. Lorsque les deux points se rapprochent, cette pente peut tendre vers un nombre précis.

Définir le nombre dérivé

f′(a)=lim⁡h→0f(a+h)−f(a)hf'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}h

Si cette limite existe et est finie, la fonction est dérivable en a. Le nombre dérivé donne la pente de la tangente au point considéré. Une dérivée positive correspond localement à une pente montante ; une dérivée négative, à une pente descendante. Une dérivée nulle donne une tangente horizontale.

Écrire la tangente

y=f′(a)(x−a)+f(a)y=f'(a)(x-a)+f(a)

Pour écrire l’équation de la tangente, calculez séparément la valeur de la fonction et celle de sa dérivée au point a. Pour f de x égal x au carré, en a égal deux, ces valeurs sont quatre et quatre. La tangente a donc pour équation y égal quatre x moins quatre.

Calculer sans confusion

(uv)′=u′v+uv′(uv)′=u′v−uv′v2\begin{aligned}(uv)'&=u'v+uv'\\\left(\frac uv\right)'&=\frac{u'v-uv'}{v^2}\end{aligned}

La dérivée d’un produit n’est pas le produit des dérivées. Il faut les deux termes de la formule. Pour un quotient, le dénominateur doit être non nul et l’ordre de la soustraction compte. Écrivez d’abord la règle adaptée, puis remplacez les fonctions et simplifiez avec soin.

Dériver une composée

(eu(x))′=u′(x)eu(x)\left(e^{u(x)}\right)'=u'(x)e^{u(x)}

Pour une composée, on dérive la fonction extérieure, puis on multiplie par la dérivée de l’expression intérieure. Ainsi, la dérivée de exponentielle de trois x est trois fois exponentielle de trois x. Oublier ce facteur intérieur est une erreur fréquente, notamment avec les puissances et les logarithmes.

Passer aux variations

f′≥0 sur I⟹f croissante sur If'\geq0\text{ sur }I\quad\Longrightarrow\quad f\text{ croissante sur }I

Sur un intervalle où la fonction est dérivable, le signe de la dérivée permet de déterminer les variations. On étudie le signe de la dérivée, pas son sens de variation. Construisez un tableau avec les points critiques, les signes entre ces points et les flèches correspondantes.

Exemple guidé

f(x)=x3−3x,f′(x)=3(x−1)(x+1)f(x)=x^3-3x,\quad f'(x)=3(x-1)(x+1)

Pour x cube moins trois x, la dérivée s’annule en moins un et en un. Le produit est positif avant moins un, négatif entre moins un et un, puis positif après un. La fonction augmente, diminue, puis augmente. Les valeurs aux points critiques sont deux et moins deux.

Reconnaître un extremum

f(x)=x3,f′(0)=0f(x)=x^3,\quad f'(0)=0

Une dérivée nulle ne suffit pas pour annoncer un maximum ou un minimum. Pour x cube, la dérivée s’annule en zéro, mais reste positive de chaque côté : la fonction continue à augmenter. Pour conclure à un extremum avec cette méthode, vérifiez le changement de signe de la dérivée.

Application guidée et entraînement

Optimiser une aire

A(x)=x(10−x),0≤x≤10A(x)=x(10-x),\quad 0\leq x\leq10

Un rectangle a un périmètre de vingt unités. Si un côté mesure x, l’autre mesure dix moins x. L’aire vaut donc x fois dix moins x. Les longueurs doivent être positives ou nulles : le domaine utile est l’intervalle de zéro à dix. Traduire correctement cette contrainte précède toujours la dérivation dans un problème concret.

Chercher le maximum

A′(x)=10−2xA'(x)=10-2x

La dérivée s’annule en cinq. Elle est positive avant cinq et négative après cinq sur le domaine utile. L’aire augmente donc jusqu’à cinq, puis diminue. On obtient un maximum en cinq. Le graphique de cette parabole tournée vers le bas confirme le tableau de variations ; il ne suffit pas, à lui seul, à démontrer l’optimalité.

Interpréter le résultat

A(5)=25,A(0)=A(10)=0A(5)=25,\quad A(0)=A(10)=0

Les deux côtés mesurent cinq : parmi les rectangles de ce périmètre, le carré maximise l’aire. La valeur maximale est vingt-cinq unités d’aire. Les bornes donnent une aire nulle. Une optimisation complète comporte le domaine, l’étude des variations et une réponse dans le contexte, avec les bonnes unités et les dimensions recherchées.

À vous de dériver

h(x)=1x+1,h′(x)=−1(x+1)2h(x)=\frac1{x+1},\quad h'(x)=-\frac1{(x+1)^2}

Calculez la dérivée de un sur x plus un, puis comparez avec la formule ci-dessus. Le domaine exclut moins un. La dérivée est strictement négative sur chacun des deux intervalles du domaine. On conclut à la décroissance sur chacun de ces intervalles séparément ; on ne relie pas les deux morceaux au travers du point où la fonction n’existe pas.

Votre méthode de travail

g(x)=(2x+1)2⟹g′(x)=4(2x+1)g(x)=(2x+1)^2\quad\Longrightarrow\quad g'(x)=4(2x+1)

Vérifiez cette dérivée : on dérive le carré, puis on multiplie par deux, dérivée de l’expression intérieure. Pour réussir une étude, suivez quatre étapes : domaine, dérivée, signe, variations. Contrôlez ensuite les valeurs remarquables et rédigez la conclusion. La dérivabilité entraîne la continuité ; la réciproque n’est pas toujours vraie.