QUESTION 1 · Taux d’accroissement et dérivabilité
Quel est le taux d’accroissement de f(x)=x² entre 1 et 1+h, pour h ≠ 0 ?
- 2+h
- 2h
- 1+h
- h²
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Réponse A : 2+h
((1+h)²−1)/h=(2h+h²)/h=2+h.
20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES
Dérivation : QCM corrigés de Terminale
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QUESTION 2 · Nombre dérivé — Dérivabilité en un point
Pour f(x)=x², que vaut f′(3) ?
- 3
- 6
- 9
- 2
Voir la réponse et l’explication
Réponse B : 6
La dérivée est f′(x)=2x, donc f′(3)=6.
QUESTION 3 · Interprétation géométrique — Tangente
Quelle est l’équation de la tangente à y=x² au point d’abscisse 2 ?
- y=4x+4
- y=2x
- y=4x−4
- y=x+2
Voir la réponse et l’explication
Réponse C : y=4x−4
y=f′(2)(x−2)+f(2)=4(x−2)+4=4x−4.
QUESTION 4 · Opérations algébriques
Quelle est la dérivée de x³−4x+7 ?
- 3x²+7
- x²−4
- 3x−4
- 3x²−4
Voir la réponse et l’explication
Réponse D : 3x²−4
On dérive terme à terme ; la dérivée de la constante 7 est nulle.
QUESTION 5 · Opérations algébriques
Quelle est la dérivée de x·eˣ ?
- (1+x)eˣ
- xeˣ
- eˣ
- x²eˣ
Voir la réponse et l’explication
Réponse A : (1+x)eˣ
La règle du produit donne 1·eˣ+x·eˣ=(1+x)eˣ.
QUESTION 6 · Opérations algébriques
Pour x ≠ −1, quelle est la dérivée de (x−1)/(x+1) ?
- −2/(x+1)²
- 2/(x+1)²
- 1/(x+1)
- 0
Voir la réponse et l’explication
Réponse B : 2/(x+1)²
Le numérateur de la dérivée vaut (x+1)−(x−1)=2.
QUESTION 7 · Tableau des dérivées usuelles
Pour x>0, quelle est la dérivée de √x ?
- 2√x
- 1/√x
- 1/(2√x)
- −1/(2√x)
Voir la réponse et l’explication
Réponse C : 1/(2√x)
La formule usuelle est (√x)′=1/(2√x) pour x>0.
QUESTION 8 · Dérivée d’une fonction composée
Quelle est la dérivée de (3x−2)⁴ ?
- 4(3x−2)³
- 3(3x−2)⁴
- 12(3x−2)⁴
- 12(3x−2)³
Voir la réponse et l’explication
Réponse D : 12(3x−2)³
La dérivée extérieure est 4u³ ; on multiplie par u′=3.
QUESTION 9 · Dérivée d’une fonction composée
Quelle est la dérivée de sin(2x) ?
- 2cos(2x)
- cos(2x)
- −2sin(2x)
- −2cos(2x)
Voir la réponse et l’explication
Réponse A : 2cos(2x)
La dérivée de sin(u) est u′cos(u), ici u′=2.
QUESTION 10 · Condition nécessaire d’extremum
Si f est dérivable et admet un extremum local en un point intérieur a, alors :
- f(a)=0.
- f′(a)=0.
- f′(a)>0.
- f′(a)<0.
Voir la réponse et l’explication
Réponse B : f′(a)=0.
À un extremum intérieur où f est dérivable, la tangente est horizontale.
QUESTION 11 · Condition suffisante — Règle du signe de f′
Si f′ passe du signe − au signe + en a, alors f admet en a :
- Un maximum local.
- Nécessairement un zéro.
- Un minimum local.
- Une discontinuité.
Voir la réponse et l’explication
Réponse C : Un minimum local.
f décroît puis croît : sa valeur en a est un minimum local.
QUESTION 12 · Dérivée et sens de variation
Si f′(x)>0 sur un intervalle I, alors f est :
- Strictement décroissante sur I.
- Constante sur I.
- Nécessairement positive sur I.
- Strictement croissante sur I.
Voir la réponse et l’explication
Réponse D : Strictement croissante sur I.
Une dérivée strictement positive entraîne la stricte croissance, pas la positivité des valeurs.
QUESTION 13 · Condition nécessaire d’extremum
Pour f(x)=x³, f′(0)=0. Que peut-on dire de 0 ?
- Ce n’est pas un extremum local.
- C’est un minimum local.
- C’est un maximum local.
- C’est une discontinuité.
Voir la réponse et l’explication
Réponse A : Ce n’est pas un extremum local.
x³ reste strictement croissante de part et d’autre de 0 ; une dérivée nulle ne suffit pas à créer un extremum.
QUESTION 14 · Dérivée et sens de variation
Pour f(x)=x³−3x, sur quel intervalle f est-elle strictement décroissante ?
- [1 ; +∞[
- [−1 ; 1]
- ]−∞ ; −1]
- ℝ
Voir la réponse et l’explication
Réponse B : [−1 ; 1]
f′(x)=3(x²−1) est négative entre −1 et 1.
QUESTION 15 · Interprétation géométrique — Tangente
Pour f(x)=1/x, quelle est la tangente au point d’abscisse 1 ?
- y=x
- y=−x
- y=−x+2
- y=x−2
Voir la réponse et l’explication
Réponse C : y=−x+2
f(1)=1 et f′(1)=−1, donc y=−(x−1)+1=−x+2.
QUESTION 16 · Dérivée de la fonction réciproque
Sur ]0 ; +∞[, f(x)=x². Que vaut la dérivée de sa réciproque en 4 ?
- 4
- 1/2
- 2
- 1/4
Voir la réponse et l’explication
Réponse D : 1/4
f⁻¹(4)=2 et (f⁻¹)′(4)=1/f′(2)=1/4.
QUESTION 17 · Démonstration d’inégalités par la dérivée
Pour prouver eˣ≥1+x sur ℝ, on étudie g(x)=eˣ−1−x. Quel est son minimum ?
- 0, atteint en x=0.
- 1, atteint en x=0.
- −1, atteint en x=1.
- Il n’y a pas de minimum.
Voir la réponse et l’explication
Réponse A : 0, atteint en x=0.
g′(x)=eˣ−1 est négative avant 0 et positive après ; g(0)=0.
QUESTION 18 · ★★ Étude d’une fonction avec paramètre
Pour fₘ(x)=x²−2mx, à quelle abscisse se trouve le minimum ?
- x=−m
- x=m
- x=2m
- x=0 pour tout m
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Réponse B : x=m
fₘ′(x)=2(x−m) passe de − à + en m.
QUESTION 19 · Théorème des accroissements finis (Lagrange) — Hors programme
Approfondissement : pour f(x)=x² sur [1 ; 3], quel c vérifie f′(c)=(f(3)−f(1))/(3−1) ?
- c=1
- c=3
- c=2
- c=4
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Réponse C : c=2
La pente de la sécante vaut 4. Résoudre 2c=4 donne c=2, qui appartient à ]1 ; 3[.
QUESTION 20 · Théorème de Rolle et applications — Hors programme
Approfondissement : f est continue sur [a ; b], dérivable sur ]a ; b[, a<b et f(a)=f(b). Rolle garantit :
- Un unique zéro de f.
- f constante.
- f′(x)=0 pour tout x.
- Au moins un c dans ]a ; b[ tel que f′(c)=0.
Voir la réponse et l’explication
Réponse D : Au moins un c dans ]a ; b[ tel que f′(c)=0.
Le théorème garantit l’existence d’une tangente horizontale à l’intérieur du segment, sans unicité.