20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Convexité : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Dérivée seconde et courbure

Quelle est la dérivée seconde de f(x)=x³ ?

  1. 3x²
  2. 6x
  3. 6
  4. x
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Réponse B : 6x

f′(x)=3x² puis f″(x)=6x.

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QUESTION 2 · Caractérisation par la dérivée seconde

Si f est deux fois dérivable et f″≥0 sur I, alors f est :

  1. Concave sur I dans tous les cas.
  2. Nécessairement décroissante.
  3. Convexe sur I.
  4. Nécessairement négative.
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Réponse C : Convexe sur I.

Le signe positif ou nul de la dérivée seconde caractérise la convexité.

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QUESTION 3 · Caractérisation par la dérivée seconde

Si f″≤0 sur I, alors f est :

  1. Nécessairement croissante.
  2. Nécessairement positive.
  3. Strictement convexe dans tous les cas.
  4. Concave sur I.
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Réponse D : Concave sur I.

Une dérivée seconde négative ou nulle signifie que f′ décroît ; f est concave.

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QUESTION 4 · Convexité et concavité

La fonction f(x)=x² est :

  1. Convexe sur ℝ.
  2. Concave sur ℝ.
  3. Convexe seulement sur [0 ; +∞[.
  4. Ni convexe ni concave sur ℝ.
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Réponse A : Convexe sur ℝ.

f″(x)=2>0 sur tout ℝ, y compris pour x<0.

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QUESTION 5 · Caractérisation par la dérivée seconde

La fonction f(x)=−x² est :

  1. Strictement convexe sur ℝ.
  2. Concave sur ℝ.
  3. Croissante sur ℝ.
  4. Positive sur ℝ.
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Réponse B : Concave sur ℝ.

f″(x)=−2<0 sur ℝ.

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QUESTION 6 · Inégalité de la tangente

Pour une fonction convexe et dérivable, la courbe se situe :

  1. Au-dessous de chacune de ses tangentes.
  2. Toujours sur l’axe des abscisses.
  3. Au-dessus de chacune de ses tangentes.
  4. Toujours sous l’axe des abscisses.
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Réponse C : Au-dessus de chacune de ses tangentes.

La convexité implique f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a).

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QUESTION 7 · Points d’inflexion

Un point d’inflexion correspond à :

  1. Tout zéro de f.
  2. Tout extremum de f.
  3. Toute tangente horizontale.
  4. Un changement de convexité.
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Réponse D : Un changement de convexité.

La courbe change de convexité ; une annulation de f ou de f′ n’est pas le critère.

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QUESTION 8 · Méthode de recherche

Pour f(x)=x⁴, que représente le point d’abscisse 0 ?

  1. Ce n’est pas un point d’inflexion.
  2. Un point d’inflexion car f″(0)=0.
  3. Un point de discontinuité.
  4. Un point où f n’est pas dérivable.
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Réponse A : Ce n’est pas un point d’inflexion.

f″(x)=12x² s’annule en 0 sans changer de signe ; f reste convexe.

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QUESTION 9 · Points d’inflexion

Quelle est l’abscisse du point d’inflexion de f(x)=x³ ?

  1. 1
  2. 0
  3. −1
  4. Il n’y en a pas.
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Réponse B : 0

f″(x)=6x change de signe en 0.

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QUESTION 10 · Tableau de convexité

Pour f(x)=x³−3x², où se trouve le point d’inflexion ?

  1. (0 ; 0)
  2. (2 ; −4)
  3. (1 ; −2)
  4. (1 ; 2)
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Réponse C : (1 ; −2)

f″(x)=6x−6 change de signe en 1 et f(1)=−2.

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QUESTION 11 · Caractérisation par la dérivée seconde

Sur ]0 ; +∞[, la fonction ln(x) est :

  1. Strictement convexe.
  2. Affine.
  3. Constante.
  4. Strictement concave.
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Réponse D : Strictement concave.

Sa dérivée seconde vaut −1/x²<0.

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QUESTION 12 · Caractérisation par la dérivée seconde

Sur ℝ, la fonction eˣ est :

  1. Strictement convexe.
  2. Strictement concave.
  3. Affine.
  4. Décroissante.
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Réponse A : Strictement convexe.

Sa dérivée seconde est eˣ, strictement positive.

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QUESTION 13 · Inégalité de la tangente

La tangente à eˣ en 0 et la convexité donnent :

  1. eˣ≤1+x pour tout réel x.
  2. eˣ≥1+x pour tout réel x.
  3. eˣ≥x² pour tout réel x.
  4. eˣ≤1 pour tout réel x.
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Réponse B : eˣ≥1+x pour tout réel x.

En 0, la tangente est y=1+x et la courbe convexe reste au-dessus.

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QUESTION 14 · Inégalité de la tangente

La concavité de ln donne, pour x>0 :

  1. ln(x)≥x−1.
  2. ln(x)≤1−x.
  3. ln(x)≤x−1.
  4. ln(x)≥x.
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Réponse C : ln(x)≤x−1.

La tangente en 1 est y=x−1 et la courbe concave reste en dessous.

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QUESTION 15 · Convexité et concavité

Si f est convexe sur [a ; b], alors f((a+b)/2) est :

  1. Toujours strictement supérieur à (f(a)+f(b))/2.
  2. Toujours égal à f(a)+f(b).
  3. Toujours égal à 0.
  4. Inférieur ou égal à (f(a)+f(b))/2.
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Réponse D : Inférieur ou égal à (f(a)+f(b))/2.

La courbe d’une fonction convexe est sous les cordes ; le milieu donne cette inégalité.

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QUESTION 16 · Tableau de convexité

Pour f(x)=x⁴−2x², où f est-elle concave ?

  1. [−1/√3 ; 1/√3]
  2. ℝ
  3. [1 ; +∞[
  4. [−2 ; −1]
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Réponse A : [−1/√3 ; 1/√3]

f″(x)=12x²−4≤0 exactement lorsque x²≤1/3.

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QUESTION 17 · Caractérisation par la dérivée seconde

Sur ]0 ; +∞[, f(x)=1/x est :

  1. Croissante et convexe.
  2. Décroissante et convexe.
  3. Décroissante et concave.
  4. Croissante et concave.
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Réponse B : Décroissante et convexe.

f′=−1/x²<0 et f″=2/x³>0 : variations et convexité sont deux propriétés distinctes.

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QUESTION 18 · Points d’inflexion

Quelle est la tangente à y=x³ au point d’inflexion ?

  1. y=x
  2. y=3x
  3. y=0
  4. y=1
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Réponse C : y=0

Le point d’inflexion est (0 ; 0) et f′(0)=0 : la tangente est horizontale.

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QUESTION 19 · Méthode de recherche

Si f″(a)=0, quelle information supplémentaire permet de conclure à une inflexion dans le cadre usuel du cours ?

  1. f(a)=0.
  2. f′(a)=0.
  3. f(a)>0.
  4. f″ change de signe en a.
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Réponse D : f″ change de signe en a.

Le changement de signe de f″ traduit un changement de convexité ; la seule égalité f″(a)=0 ne suffit pas.

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QUESTION 20 · Inégalité de Jensen — Hors programme

Approfondissement : Jensen appliquée à x² avec trois poids égaux donne :

  1. ((a+b+c)/3)²≤(a²+b²+c²)/3.
  2. ((a+b+c)/3)²≥a²+b²+c² pour tous réels.
  3. (a+b+c)²≤a²+b²+c² pour tous réels.
  4. (a+b+c)²=3(a²+b²+c²) pour tous réels.
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Réponse A : ((a+b+c)/3)²≤(a²+b²+c²)/3.

x² est convexe ; la valeur au barycentre est inférieure ou égale à la moyenne des valeurs.

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