CHAPITRE 05 · TERMINALE

Convexité

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Comprendre la courbure
  2. Observer les pentes
  3. Utiliser la dérivée seconde
  4. Comparer avec une tangente
  5. Exemple d’inégalité
  6. Point d’inflexion
  7. Éviter un faux critère
  8. Deux études différentes
  9. Un exemple avec changement de courbure
  10. Construire le tableau de signe
  11. Trouver le point et la tangente
  12. Une vérification supplémentaire
  13. Vérifier votre compréhension

Comprendre la courbure

f(x)=x2est convexe sur Rf(x)=x^2\quad\text{est convexe sur }\mathbb R

La convexité décrit la manière dont une courbe se courbe. Pour une fonction convexe, les segments reliant deux points de la courbe sont au-dessus de la courbe. La parabole de x au carré en donne un exemple. La concavité correspond à la situation inverse.

Observer les pentes

f convexe⟺f′ croissantef\text{ convexe}\quad\Longleftrightarrow\quad f'\text{ croissante}

Pour une fonction dérivable sur un intervalle, la convexité signifie que les pentes des tangentes augmentent lorsque x augmente. Attention : cela ne veut pas dire que la fonction elle-même augmente. Une courbe peut descendre tout en étant convexe, si ses pentes deviennent progressivement moins négatives.

Utiliser la dérivée seconde

f′′≥0⇒f convexef′′≤0⇒f concave\begin{aligned}f''\geq0&\Rightarrow f\text{ convexe}\\f''\leq0&\Rightarrow f\text{ concave}\end{aligned}

Lorsque la fonction est deux fois dérivable, on étudie le signe de la dérivée seconde. Un signe positif ou nul sur l’intervalle donne la convexité ; un signe négatif ou nul donne la concavité. On distingue donc trois objets : la fonction, sa dérivée et sa dérivée seconde.

Comparer avec une tangente

f(x)≥f(a)+f′(a)(x−a)f(x)\geq f(a)+f'(a)(x-a)

Une fonction convexe et dérivable reste au-dessus de chacune de ses tangentes sur l’intervalle étudié. Cette propriété permet de démontrer des inégalités. Le membre de droite est précisément la valeur de la tangente au point a. Pour une fonction concave, l’inégalité est dans l’autre sens.

Exemple d’inégalité

ex≥1+x(x∈R)e^x\geq1+x\quad(x\in\mathbb R)

L’exponentielle a une dérivée seconde strictement positive, donc elle est convexe. Sa valeur en zéro est un et sa dérivée en zéro vaut un. Sa tangente en zéro a pour équation y égal un plus x. La courbe étant au-dessus, l’inégalité est démontrée pour tout réel.

Point d’inflexion

f(x)=x3,f′′(x)=6xf(x)=x^3,\quad f''(x)=6x

Un point d’inflexion correspond à un changement de convexité. Pour x cube, la dérivée seconde est négative avant zéro et positive après zéro. La courbe passe de concave à convexe. L’origine est donc un point d’inflexion. Le changement de signe explique la conclusion, pas seulement l’annulation.

Éviter un faux critère

g(x)=x4,g′′(x)=12x2g(x)=x^4,\quad g''(x)=12x^2

Pour x puissance quatre, la dérivée seconde s’annule également en zéro, mais reste positive ou nulle de chaque côté. La fonction reste convexe : il n’y a pas de point d’inflexion en zéro. Retenez cette différence entre un candidat obtenu par annulation et une conclusion justifiée par le changement de convexité.

Deux études différentes

f(x)=e−xf′(x)=−e−x<0f′′(x)=e−x>0\begin{aligned}f(x)&=e^{-x}\\f'(x)&=-e^{-x}<0\\f''(x)&=e^{-x}>0\end{aligned}

Cette fonction est décroissante et convexe sur les réels. La première dérivée décrit le sens de variation ; la seconde décrit la courbure. Cet exemple permet de ne plus confondre les deux. Une pente peut être négative tout en augmentant vers zéro, ce qui correspond à une courbe descendante qui s’aplatit.

Application guidée et entraînement

Un exemple avec changement de courbure

f(x)=x3−3x2f(x)=x^3-3x^2

Étudions maintenant une fonction qui change de courbure en un point non nul. On calcule la dérivée première, trois x carré moins six x, puis la dérivée seconde. Le but est de déterminer les intervalles de convexité et de concavité, puis les coordonnées du point d’inflexion. Il ne suffit pas d’en donner seulement l’abscisse.

Construire le tableau de signe

f′′(x)=6x−6=6(x−1)f''(x)=6x-6=6(x-1)

La dérivée seconde est négative lorsque x est inférieur à un, nulle en un, puis positive lorsque x est supérieur à un. La fonction est donc concave avant un et convexe après un. C’est le passage d’un signe à l’autre qui justifie le point d’inflexion.

Trouver le point et la tangente

I(1,−2),T: y=−3x+1I(1,-2),\quad T:\ y=-3x+1

La valeur de la fonction en un est moins deux : le point d’inflexion a donc pour coordonnées un, moins deux. La dérivée première en un vaut moins trois. En appliquant la formule de la tangente, on obtient y égal moins trois x plus un. La tangente permet ici de visualiser le changement de position de la courbe.

Une vérification supplémentaire

f(x)−(−3x+1)=(x−1)3f(x)-(-3x+1)=(x-1)^3

La différence entre la fonction et sa tangente est le cube de x moins un. Elle est négative avant un et positive après : la courbe traverse la tangente en ce point. Cette vérification complète l’étude de la dérivée seconde. Pour vous entraîner, expliquez pourquoi une tangente horizontale n’est pas nécessaire pour qu’il existe un point d’inflexion.

Vérifier votre compréhension

h(x)=−x2,h′′(x)=−2h(x)=-x^2,\quad h''(x)=-2

La dérivée seconde vaut moins deux partout : la fonction est concave sur les réels. Pour vos exercices, calculez les deux dérivées, étudiez le signe de la seconde, puis repérez ses changements de signe. Si une inégalité est demandée, pensez à comparer la courbe avec une tangente bien choisie.