CHAPITRE 06 · TERMINALE

Fonctions exponentielles

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Définir l’exponentielle
  2. Les règles de calcul
  3. Variations et signe
  4. Limites fondamentales
  5. Dériver une composée
  6. Résoudre une équation
  7. Étudier un produit
  8. Comparer les croissances
  9. Un modèle de décroissance
  10. Vérifier les variations
  11. Trouver le temps de moitié
  12. Éviter une confusion
  13. Question de vérification

Définir l’exponentielle

exp⁡′(x)=exp⁡(x),exp⁡(0)=1\exp'(x)=\exp(x),\quad\exp(0)=1

La fonction exponentielle est caractérisée par une dérivée égale à elle-même et par sa valeur un en zéro. On note exponentielle de x sous la forme e puissance x. Elle est définie pour tout réel et prend uniquement des valeurs strictement positives, ce qui simplifie beaucoup d’études de signes.

Les règles de calcul

ea+b=eaebea−b=eaebe−a=1ea\begin{aligned}e^{a+b}&=e^ae^b\\e^{a-b}&=\frac{e^a}{e^b}\\e^{-a}&=\frac1{e^a}\end{aligned}

Une addition dans l’exposant devient un produit d’exponentielles. Une soustraction devient un quotient. Un exposant négatif correspond à l’inverse. Attention à ne pas transformer exponentielle de a plus b en exponentielle de a plus exponentielle de b : cette égalité serait fausse, même pour des valeurs simples.

Variations et signe

(ex)′=ex>0(e^x)'=e^x>0

La dérivée est strictement positive : l’exponentielle est strictement croissante sur tous les réels. Elle ne s’annule jamais. Ainsi, dans un produit contenant une exponentielle, le signe dépend des autres facteurs. Cette observation évite de chercher inutilement des solutions à une équation de la forme exponentielle égal zéro.

Limites fondamentales

lim⁡x→+∞ex=+∞lim⁡x→−∞ex=0\begin{aligned}\lim_{x\to+\infty}e^x&=+\infty\\\lim_{x\to-\infty}e^x&=0\end{aligned}

Quand x devient très grand, l’exponentielle devient arbitrairement grande. Quand x tend vers moins l’infini, elle s’approche de zéro tout en restant positive. La droite y égal zéro est donc une asymptote horizontale à gauche. Le graphique doit respecter à la fois ces limites et la stricte croissance.

Dériver une composée

(e−2x)′=−2e−2x\left(e^{-2x}\right)'=-2e^{-2x}

Pour une exponentielle composée, multipliez par la dérivée de l’exposant. Ici, l’exposant est moins deux x, donc le facteur est moins deux. La dérivée est négative et la fonction décroît. L’exponentielle elle-même reste positive : ne confondez pas le signe de la fonction avec celui de sa dérivée.

Résoudre une équation

e2x−1=e3⟺x=2e^{2x-1}=e^3\quad\Longleftrightarrow\quad x=2

L’exponentielle étant strictement croissante, deux exponentielles sont égales exactement lorsque leurs exposants sont égaux. On résout donc deux x moins un égal trois, ce qui donne deux. Pour une inégalité entre exponentielles, on compare aussi les exposants en conservant le sens de l’inégalité.

Étudier un produit

f(x)=xe−x,f′(x)=e−x(1−x)f(x)=xe^{-x},\quad f'(x)=e^{-x}(1-x)

On applique la règle du produit, puis on factorise par l’exponentielle. Comme ce facteur est positif, le signe de la dérivée est celui de un moins x. La fonction augmente jusqu’à un, puis diminue. Elle admet donc un maximum en un, de valeur un sur e.

Comparer les croissances

lim⁡x→+∞xe−x=lim⁡x→+∞xex=0\lim_{x\to+\infty}xe^{-x}=\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{e^x}=0

À plus l’infini, l’exponentielle domine toute puissance positive fixée de x. Ici, x sur exponentielle de x tend vers zéro. C’est une limite de référence à connaître ; l’écriture infini fois zéro était indéterminée. Transformer l’expression en quotient rend le résultat de croissance comparée directement applicable.

Application guidée et entraînement

Un modèle de décroissance

N(t)=100e−0,2t,t≥0N(t)=100e^{-0{,}2t},\quad t\geq0

Une quantité diminue selon ce modèle exponentiel. Le temps t est mesuré dans l’unité choisie pour le problème. Au départ, la quantité vaut cent. Le coefficient négatif dans l’exposant suggère une diminution, mais nous allons la justifier par la dérivée. Ce type de modèle apparaît notamment dans des phénomènes de décroissance continue.

Vérifier les variations

N′(t)=−20e−0,2t<0N'(t)=-20e^{-0{,}2t}<0

La dérivée comporte le facteur moins zéro virgule deux, multiplié par cent. Elle vaut donc moins vingt fois l’exponentielle. Celle-ci étant positive, la dérivée est négative. La quantité décroît strictement, reste positive et tend vers zéro. Dans une représentation graphique, elle s’approche de l’axe horizontal sans le franchir et sans atteindre zéro à un temps fini.

Trouver le temps de moitié

N(t)=50⟺t=5ln⁡2N(t)=50\quad\Longleftrightarrow\quad t=5\ln2

Pour connaître le temps nécessaire à la division par deux, on pose la quantité égale à cinquante. Après division par cent, l’exponentielle vaut un demi. En appliquant le logarithme, moins zéro virgule deux t vaut moins logarithme de deux. On obtient cinq logarithme de deux, soit environ trois virgule quarante-sept unités de temps.

Éviter une confusion

N(1)=100e−0,2≈81,87N(1)=100e^{-0{,}2}\approx81{,}87

Le coefficient moins zéro virgule deux dans l’exposant ne signifie pas exactement une baisse de vingt pour cent par unité de temps. Au temps un, la quantité est environ quatre-vingt-un virgule quatre-vingt-sept. Le coefficient multiplicateur est exponentielle de moins zéro virgule deux. Distinguez donc le taux du modèle continu et le pourcentage de variation sur une durée donnée.

Question de vérification

ex+2=1⟺x=−2e^{x+2}=1\quad\Longleftrightarrow\quad x=-2

Pourquoi la solution est-elle moins deux ? Parce que un est exponentielle de zéro : les exposants doivent donc être égaux. Retenez quatre réflexes : exponentielle toujours positive, règles de calcul exactes, dérivée de l’exposant dans les composées et limites de référence. Puis entraînez-vous sur un exercice du chapitre.