CHAPITRE 07 · TERMINALE

Fonctions logarithmiques

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Définir le logarithme
  2. Deux fonctions réciproques
  3. Transformer un produit
  4. Étudier la fonction
  5. Connaître les limites
  6. Dériver une composée
  7. Résoudre avec le domaine
  8. Étude d’un quotient
  9. Une équation avec deux logarithmes
  10. Transformer puis résoudre
  11. Garder la solution admissible
  12. Lire le graphique
  13. Question et piège classique

Définir le logarithme

ln⁡x=y⟺ey=x(x>0)\ln x=y\quad\Longleftrightarrow\quad e^y=x\quad(x>0)

Le logarithme népérien répond à une question : quel exposant faut-il donner à e pour obtenir x ? Il est défini uniquement pour x strictement positif. Cette condition de domaine doit apparaître avant les calculs, particulièrement quand l’argument est une expression contenant l’inconnue.

Deux fonctions réciproques

ln⁡(ex)=x,eln⁡t=t(t>0)\ln(e^x)=x,\quad e^{\ln t}=t\quad(t>0)

L’exponentielle et le logarithme permettent d’annuler leurs effets respectifs. La première égalité vaut pour tout réel x. La seconde exige que t soit positif, puisque son logarithme doit exister. On en déduit aussi que logarithme de un vaut zéro et logarithme de e vaut un.

Transformer un produit

ln⁡(ab)=ln⁡a+ln⁡b(a>0, b>0)\ln(ab)=\ln a+\ln b\quad(a>0,\ b>0)

Le logarithme transforme un produit de nombres positifs en somme. Il transforme également un quotient en différence, et une puissance entière d’un nombre positif en produit par l’exposant. En revanche, il n’existe pas de règle disant que le logarithme d’une somme est la somme des logarithmes.

Étudier la fonction

(ln⁡x)′=1x>0(x>0)(\ln x)'=\frac1x>0\quad(x>0)

La dérivée du logarithme est un sur x. Elle est positive sur son domaine : la fonction est strictement croissante. Son signe change à un : elle est négative entre zéro et un, nulle en un, et positive au-delà. Une fonction croissante n’est donc pas nécessairement positive partout.

Connaître les limites

lim⁡x→0+ln⁡x=−∞lim⁡x→+∞ln⁡x=+∞\begin{aligned}\lim_{x\to0^+}\ln x&=-\infty\\\lim_{x\to+\infty}\ln x&=+\infty\end{aligned}

Près de zéro, on approche uniquement par la droite et le logarithme tend vers moins l’infini. À plus l’infini, il tend vers plus l’infini, mais lentement : logarithme de x divisé par x tend vers zéro. La droite x égal zéro est une asymptote verticale.

Dériver une composée

(ln⁡u(x))′=u′(x)u(x)(u(x)>0)\bigl(\ln u(x)\bigr)'=\frac{u'(x)}{u(x)}\quad(u(x)>0)

Pour dériver le logarithme d’une expression, on divise la dérivée de cette expression par l’expression elle-même. Il faut d’abord imposer sa positivité. Ainsi, logarithme de deux x plus un est défini pour x supérieur à moins un demi ; sa dérivée vaut deux sur deux x plus un.

Résoudre avec le domaine

ln⁡(x−1)=ln⁡3⟺x=4\ln(x-1)=\ln3\quad\Longleftrightarrow\quad x=4

La condition de départ est x strictement supérieur à un. Comme le logarithme est strictement croissant, on peut égaler ses arguments : x moins un égale trois. On trouve quatre, qui respecte le domaine. Vérifier cette condition à la fin empêche de conserver une solution interdite.

Étude d’un quotient

f(x)=ln⁡xx,f′(x)=1−ln⁡xx2f(x)=\frac{\ln x}{x},\quad f'(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}

Pour x positif, le dénominateur de la dérivée est positif. Le signe dépend donc de un moins logarithme de x, qui s’annule en e. La fonction augmente jusqu’à e, puis diminue. Son maximum vaut un sur e. On relie ainsi dérivation, équation logarithmique et tableau de variations.

Application guidée et entraînement

Une équation avec deux logarithmes

ln⁡x+ln⁡(x−1)=ln⁡2\ln x+\ln(x-1)=\ln2

Avant de regrouper les logarithmes, imposez leurs deux conditions : x positif et x moins un positif. Le domaine est donc x strictement supérieur à un. Cette étape est indispensable, car la transformation algébrique qui suit peut produire des solutions qui ne permettent pas de calculer les logarithmes de l’équation de départ.

Transformer puis résoudre

x(x−1)=2⟺(x−2)(x+1)=0x(x-1)=2\quad\Longleftrightarrow\quad(x-2)(x+1)=0

Sur ce domaine, la somme des logarithmes est le logarithme du produit. L’injectivité du logarithme permet ensuite d’égaler les arguments. On obtient x carré moins x moins deux égal zéro, puis une factorisation. Les solutions de cette équation polynomiale sont deux et moins un. Il reste à revenir aux conditions initiales.

Garder la solution admissible

x>1⟹x=2x>1\quad\Longrightarrow\quad x=2

La valeur moins un est interdite puisque son logarithme n’existe pas dans les réels. La seule solution est deux. En la remplaçant dans l’équation initiale, on trouve logarithme de deux plus logarithme de un, donc logarithme de deux. Ce contrôle final est rapide et confirme que toutes les transformations ont été utilisées sur le bon domaine.

Lire le graphique

ln⁡1=0,ln⁡e=1\ln1=0,\quad\ln e=1

La courbe du logarithme passe par un, zéro et par e, un. Elle est croissante, mais sa pente diminue : sa dérivée seconde vaut moins un sur x carré, donc elle est concave. Repérez aussi son asymptote verticale en zéro. Une esquisse correcte rassemble le domaine, les points remarquables, les variations, les limites et la courbure.

Question et piège classique

ln⁡x+ln⁡2=ln⁡6⟺x=3\ln x+\ln2=\ln6\quad\Longleftrightarrow\quad x=3

Imposez x positif, puis regroupez les deux logarithmes en logarithme de deux x. L’égalité donne deux x égal six, donc trois. Ne regroupez jamais en logarithme de x plus deux. Votre méthode : domaine, propriétés autorisées, résolution, puis vérification de toutes les solutions obtenues.