CHAPITRE 08 · TERMINALE

Primitives et intégrales

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Chercher une primitive
  2. Une famille de primitives
  3. Calculer une intégrale
  4. Exemple immédiat
  5. Aire et signe
  6. Additionner les intervalles
  7. Intégration par parties
  8. Exemple guidé
  9. Aire entre deux courbes
  10. Calculer la différence
  11. Évaluer aux bornes
  12. Comprendre la valeur moyenne
  13. Vérifier votre résultat

Chercher une primitive

F′=fF'=f

Une primitive de f est une fonction dont la dérivée est f. Chercher une primitive revient donc à reconnaître une dérivée connue. On travaille sur un intervalle. Si une primitive existe, toutes les autres s’obtiennent en ajoutant une constante réelle, car la dérivée d’une constante vaut zéro.

Une famille de primitives

f(x)=2x⟹F(x)=x2+Cf(x)=2x\quad\Longrightarrow\quad F(x)=x^2+C

Les primitives de deux x sont x au carré plus une constante. Pour vérifier votre résultat, dérivez-le. Ce contrôle simple détecte de nombreuses erreurs. Attention à distinguer une primitive, qui est une fonction, d’une intégrale définie, qui est un nombre lorsque les bornes sont fixées.

Calculer une intégrale

∫abf(x) dx=F(b)−F(a)\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a)

Si f est continue sur l’intervalle fermé et F une primitive, l’intégrale se calcule en soustrayant la valeur de F en a à sa valeur en b. Respectez l’ordre des bornes. La constante ajoutée à la primitive disparaît dans la différence ; elle ne change pas le résultat.

Exemple immédiat

∫022x dx=[x2]02=4\int_0^2 2x\,dx=[x^2]_0^2=4

On choisit x au carré comme primitive de deux x, puis on calcule quatre moins zéro. Ici, la fonction est positive sur l’intervalle : le résultat est aussi l’aire entre la courbe et l’axe horizontal, exprimée en unités d’aire. Le calcul et la lecture géométrique se confirment.

Aire et signe

∫−11x dx=0\int_{-1}^{1}x\,dx=0

L’intégrale est une aire algébrique : les parties sous l’axe contribuent négativement. Pour la fonction x entre moins un et un, les contributions se compensent et l’intégrale vaut zéro. L’aire géométrique totale, elle, vaut un. Pour la calculer, séparez les intervalles selon le signe de la fonction.

Additionner les intervalles

∫acf=∫abf+∫bcf\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f

La relation de Chasles permet de découper une intégrale en plusieurs morceaux. La linéarité permet aussi de séparer une somme et de sortir un coefficient constant. Ces propriétés servent à simplifier les calculs, à gérer les changements de signe ou à exploiter des intégrales déjà connues.

Intégration par parties

∫abuv′=[uv]ab−∫abu′v\int_a^b uv'=[uv]_a^b-\int_a^b u'v

Pour des fonctions suffisamment régulières, l’intégration par parties transforme une intégrale de produit. Choisissez u de façon que sa dérivée soit plus simple, puis trouvez une primitive v de l’autre facteur. Écrivez les quatre éléments avant d’appliquer la formule pour éviter de perdre le signe moins.

Exemple guidé

∫01xex dx=[xex]01−∫01ex dx=1\int_0^1 xe^x\,dx=[xe^x]_0^1-\int_0^1e^x\,dx=1

On prend u égal x et v prime égal exponentielle de x. Alors u prime vaut un et v vaut exponentielle de x. Le terme aux bornes vaut e. La seconde intégrale vaut e moins un. Leur différence vaut un : le choix a effectivement simplifié le produit.

Application guidée et entraînement

Aire entre deux courbes

f(x)=x,g(x)=x2sur [0,1]f(x)=x,\quad g(x)=x^2\quad\text{sur }[0,1]

Nous cherchons l’aire comprise entre la droite y égal x et la parabole y égal x carré, entre zéro et un. Commencez par déterminer quelle courbe est au-dessus. Sur cet intervalle, x est supérieur ou égal à x carré. L’aire se calcule donc en intégrant x moins x carré, et non la différence dans l’autre sens.

Calculer la différence

A=∫01(x−x2) dx\mathcal A=\int_0^1(x-x^2)\,dx

On considère la région située entre les deux courbes. La différence des hauteurs est positive sur l’intervalle, ce qui garantit une aire positive. Par linéarité, on peut chercher une primitive de chaque terme séparément. Une primitive de x est x carré sur deux ; une primitive de x carré est x cube sur trois.

Évaluer aux bornes

A=[x22−x33]01=16\mathcal A=\left[\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3}\right]_0^1=\frac16

À la borne un, on obtient un demi moins un tiers, soit un sixième. À la borne zéro, les deux termes s’annulent. L’aire vaut donc un sixième d’unité d’aire. Si les axes sont gradués avec des unités physiques, il faut ensuite convertir en tenant compte de ces unités, et pas seulement recopier le nombre.

Comprendre la valeur moyenne

m=1b−a∫abf(x) dx(a<b)m=\frac1{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\quad(a<b)

L’intégrale permet aussi de calculer la valeur moyenne d’une fonction continue sur un intervalle. On divise l’intégrale par la longueur de l’intervalle. Par exemple, la moyenne de x carré entre zéro et un vaut un tiers. Elle n’est pas simplement la moyenne des deux valeurs aux extrémités, qui vaudrait un demi.

Vérifier votre résultat

∫013x2 dx=[x3]01=1\int_0^1 3x^2\,dx=[x^3]_0^1=1

Pour cette dernière question, une primitive est x cube : l’intégrale vaut donc un. Retenez : vérifier la continuité ou les hypothèses de la méthode, chercher une primitive, évaluer aux bornes et interpréter le signe. Pour une aire, repérez les zéros avant de découper. Une intégrale ne se calcule pas en multipliant les primitives.