CHAPITRE 09 · TERMINALE

Équations différentielles

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Une fonction inconnue
  2. Le modèle homogène
  3. Utiliser une valeur initiale
  4. Ajouter un terme constant
  5. La solution générale
  6. Exemple guidé
  7. Interpréter l’évolution
  8. Approfondissement du manuel
  9. Un modèle avec équilibre
  10. Résoudre le modèle
  11. Vérifier et interpréter
  12. Atteindre un seuil
  13. Question de vérification

Une fonction inconnue

y′=2yy'=2y

Dans une équation différentielle, l’inconnue est une fonction. L’équation relie cette fonction à une ou plusieurs de ses dérivées. Ici, la variation instantanée est proportionnelle à la valeur actuelle. Résoudre signifie trouver toutes les fonctions qui vérifient la relation sur l’intervalle considéré.

Le modèle homogène

y′=ay⟺y(x)=Ceaxy'=ay\quad\Longleftrightarrow\quad y(x)=Ce^{ax}

Lorsque a est une constante réelle, toutes les solutions sont de la forme C fois exponentielle de a x, où C est une constante réelle quelconque. On vérifie la formule en dérivant : le facteur a apparaît et l’on retrouve a fois y. La fonction nulle correspond à C égal zéro.

Utiliser une valeur initiale

y′=2y,y(0)=3⟹y(x)=3e2xy'=2y,\quad y(0)=3\quad\Longrightarrow\quad y(x)=3e^{2x}

L’équation seule donne une famille de solutions. Une valeur initiale permet de déterminer la constante. Ici, en remplaçant x par zéro, exponentielle de zéro vaut un, donc C vaut trois. Une solution complète doit satisfaire à la fois l’équation différentielle et la condition initiale donnée.

Ajouter un terme constant

y′=ay+b,a≠0y'=ay+b,\quad a\ne0

Lorsqu’un terme constant b est ajouté, on cherche d’abord une solution constante. Sa dérivée vaut zéro : elle doit donc satisfaire a fois y plus b égal zéro. On obtient moins b sur a. Cette valeur joue le rôle d’équilibre dans de nombreux modèles d’évolution.

La solution générale

y(x)=Ceax−ba(a≠0)y(x)=Ce^{ax}-\frac ba\quad(a\ne0)

On ajoute à la solution constante les solutions de l’équation homogène. Cela donne cette formule, que l’on peut vérifier par substitution. Si a vaut zéro, on ne divise surtout pas par a : l’équation devient y prime égal b, et ses solutions sont b x plus une constante.

Exemple guidé

y′=−2y+6,y(0)=5y(x)=3+2e−2x\begin{aligned}y'&=-2y+6,\quad y(0)=5\\y(x)&=3+2e^{-2x}\end{aligned}

L’équilibre vaut trois. Les solutions s’écrivent trois plus C fois exponentielle de moins deux x. La valeur initiale cinq impose C égal deux. On obtient cette fonction. Dérivez-la puis remplacez y dans le second membre : les deux expressions donnent moins quatre fois exponentielle de moins deux x.

Interpréter l’évolution

lim⁡x→+∞(3+2e−2x)=3\lim_{x\to+\infty}\left(3+2e^{-2x}\right)=3

L’exponentielle tend vers zéro, donc la solution tend vers trois. Elle part de cinq et décroît vers cet équilibre. Pour x positif, elle reste au-dessus de trois. Le signe du coefficient de y explique ici le rapprochement vers l’équilibre ; il faut toujours relier le calcul au sens du modèle.

Approfondissement du manuel

y′′+ω2y=0,y=Acos⁡(ωx)+Bsin⁡(ωx)y''+\omega^2y=0,\quad y=A\cos(\omega x)+B\sin(\omega x)

Le manuel présente aussi un approfondissement du second ordre : pour oméga strictement positif, cette équation décrit des oscillations. Ses solutions combinent sinus et cosinus avec deux constantes. Deux conditions appropriées permettent de les déterminer. Ce complément est à travailler selon votre programme, après la maîtrise des équations du premier ordre.

Application guidée et entraînement

Un modèle avec équilibre

T′(t)=−0,1(T(t)−20),T(0)=80T'(t)=-0{,}1(T(t)-20),\quad T(0)=80

La température d’un objet évolue dans un environnement à vingt degrés. Le modèle exprime que sa vitesse de refroidissement est proportionnelle à l’écart avec cette température. La valeur initiale est quatre-vingts degrés. On reconnaît une équation du premier ordre avec un terme constant après développement. L’unité de temps dépend du problème étudié.

Résoudre le modèle

T(t)=20+60e−0,1tT(t)=20+60e^{-0{,}1t}

La solution d’équilibre est vingt. La solution générale s’écrit vingt plus C fois exponentielle de moins zéro virgule un t. La condition initiale donne quatre-vingts égal vingt plus C, donc C vaut soixante. Cette expression permet de calculer la température à tout instant positif, dans les limites de validité du modèle.

Vérifier et interpréter

T′(t)=−6e−0,1t,lim⁡t→+∞T(t)=20T'(t)=-6e^{-0{,}1t},\quad\lim_{t\to+\infty}T(t)=20

En dérivant, on obtient moins six fois l’exponentielle. Le second membre de l’équation donne exactement la même expression. La température décroît vers vingt tout en restant supérieure à vingt. Une vérification complète contrôle aussi la température initiale, et pas uniquement l’égalité entre les dérivées.

Atteindre un seuil

T(t)=50⟺t=10ln⁡2T(t)=50\quad\Longleftrightarrow\quad t=10\ln2

Au bout de combien de temps la température atteint-elle cinquante degrés ? Cherchez avant la correction. L’écart à l’équilibre passe de soixante à trente : il est divisé par deux. L’exponentielle vaut donc un demi, puis le logarithme donne dix logarithme de deux, soit environ six virgule quatre-vingt-treize unités de temps. On conclut avec l’unité du modèle.

Question de vérification

y′=−y,y(0)=4⟹y(x)=4e−xy'=-y,\quad y(0)=4\quad\Longrightarrow\quad y(x)=4e^{-x}

On reconnaît le modèle homogène avec a égal moins un. La condition initiale fixe C à quatre. La solution décroît vers zéro. Retenez le parcours : identifier la forme, écrire la famille, déterminer les constantes, vérifier par dérivation, puis interpréter. Une réponse numérique seule ne résout pas une équation dont l’inconnue est une fonction.