20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Équations différentielles : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Généralités sur les équations différentielles

Une équation différentielle met en relation :

  1. Uniquement des nombres entiers.
  2. Une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées.
  3. Uniquement des constantes.
  4. Deux suites numériques sans fonction.
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Réponse B : Une fonction inconnue et une ou plusieurs de ses dérivées.

L’inconnue est une fonction ; l’équation impose une relation avec ses dérivées.

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QUESTION 2 · Équations différentielles y′ = ay

Les solutions de y′=3y sur ℝ sont :

  1. y(x)=3x+C.
  2. y(x)=Ceˣ.
  3. y(x)=Ce³ˣ, C réel.
  4. y(x)=Ce⁻³ˣ.
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Réponse C : y(x)=Ce³ˣ, C réel.

Pour y′=ay, les solutions sont Ceᵃˣ, ici a=3.

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QUESTION 3 · Équations différentielles y′ = ay

Les solutions de y′=0 sont :

  1. Seulement la fonction nulle.
  2. Les fonctions y(x)=x+C.
  3. Les fonctions y(x)=eˣ.
  4. Les fonctions constantes.
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Réponse D : Les fonctions constantes.

Une dérivée identiquement nulle sur un intervalle caractérise une fonction constante.

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QUESTION 4 · Équations différentielles y′ = ay

Quelle fonction satisfait y′=−2y ?

  1. y(x)=5e⁻²ˣ
  2. y(x)=5e²ˣ
  3. y(x)=−2x
  4. y(x)=e⁻ˣ
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Réponse A : y(x)=5e⁻²ˣ

La dérivée de 5e⁻²ˣ vaut −10e⁻²ˣ=−2y.

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QUESTION 5 · Problème de Cauchy — Hors programme

Approfondissement : quelle solution de y′=2y vérifie y(0)=3 ?

  1. y(x)=2e³ˣ
  2. y(x)=3e²ˣ
  3. y(x)=e²ˣ+2
  4. y(x)=3e⁻²ˣ
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Réponse B : y(x)=3e²ˣ

Les solutions sont Ce²ˣ et y(0)=C ; donc C=3.

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QUESTION 6 · Équations différentielles y′ = ay + b

Quelle solution constante vérifie y′=2y−6 ?

  1. y(x)=−3
  2. y(x)=6
  3. y(x)=3
  4. y(x)=0
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Réponse C : y(x)=3

Pour une solution constante, y′=0. Résoudre 2y−6=0 donne y=3.

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QUESTION 7 · Équations différentielles y′ = ay + b

Les solutions de y′=2y−6 sont :

  1. y(x)=−3+Ce²ˣ
  2. y(x)=3+Ce⁻²ˣ
  3. y(x)=6+Ce²ˣ
  4. y(x)=3+Ce²ˣ
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Réponse D : y(x)=3+Ce²ˣ

On additionne la solution particulière constante 3 aux solutions Ce²ˣ de l’équation homogène.

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QUESTION 8 · Équations différentielles y′ = ay + b

Quelle solution de y′=−y+4 vérifie y(0)=1 ?

  1. y(x)=4−3e⁻ˣ
  2. y(x)=4+3e⁻ˣ
  3. y(x)=1+4e⁻ˣ
  4. y(x)=4−3eˣ
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Réponse A : y(x)=4−3e⁻ˣ

Les solutions sont 4+Ce⁻ˣ. La condition donne 4+C=1, donc C=−3.

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QUESTION 9 · Équations différentielles y′ = ay + b

Quelle est la limite de y(x)=4−3e⁻ˣ lorsque x→+∞ ?

  1. 1
  2. 4
  3. 0
  4. +∞
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Réponse B : 4

e⁻ˣ tend vers 0, donc y tend vers l’équilibre 4.

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QUESTION 10 · Applications : modèles d'évolution

Une population vérifie P′=0,2P et P(0)=100. Quelle est son expression ?

  1. P(t)=100+0,2t
  2. P(t)=0,2e^(100t)
  3. P(t)=100e^(0,2t)
  4. P(t)=100e^(−0,2t)
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Réponse C : P(t)=100e^(0,2t)

Une vitesse de croissance proportionnelle à la population donne une évolution exponentielle, avec constante initiale 100.

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QUESTION 11 · Applications : modèles d'évolution

Pour P(t)=P₀eᵏᵗ avec P₀>0 et k>0, le temps de doublement vaut :

  1. 2/k
  2. k·ln(2)
  3. ln(k)/2
  4. ln(2)/k
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Réponse D : ln(2)/k

P(T)=2P₀ implique eᵏᵀ=2, donc kT=ln(2).

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QUESTION 12 · Applications : modèles d'évolution

Pour N(t)=N₀e⁻ᵏᵗ avec N₀>0 et k>0, la demi-vie vaut :

  1. ln(2)/k
  2. −ln(2)/k
  3. k/2
  4. 2k
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Réponse A : ln(2)/k

N(T)=N₀/2 donne −kT=ln(1/2)=−ln(2).

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QUESTION 13 · Équations différentielles y′ = ay

Si y′=ay et y(0)=0, quelle est la solution ?

  1. y(x)=eᵃˣ.
  2. y(x)=0 pour tout x.
  3. y(x)=ax.
  4. Il existe une infinité de solutions vérifiant cette condition.
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Réponse B : y(x)=0 pour tout x.

La forme Ceᵃˣ donne C=y(0)=0.

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QUESTION 14 · Équations différentielles y′ = ay + b

Si a≠0, quelle est la solution constante de y′=ay+b ?

  1. y=b/a
  2. y=−a/b
  3. y=−b/a
  4. y=a+b
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Réponse C : y=−b/a

Une solution constante a une dérivée nulle : ay+b=0.

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QUESTION 15 · Équations différentielles y′ = ay + b

Quelle solution de y′=−2y+6 vérifie y(0)=5 ?

  1. y(x)=3−2e⁻²ˣ
  2. y(x)=−3+8e⁻²ˣ
  3. y(x)=3+2e²ˣ
  4. y(x)=3+2e⁻²ˣ
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Réponse D : y(x)=3+2e⁻²ˣ

L’équilibre est 3 et les solutions sont 3+Ce⁻²ˣ. À x=0, C=2.

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QUESTION 16 · Applications : modèles d'évolution

Une température vérifie T′=−k(T−20), k>0, avec T(0)>20. Elle :

  1. Décroît et tend vers 20.
  2. Croît vers +∞.
  3. Devient inférieure à 20 en temps fini.
  4. Reste égale à T(0).
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Réponse A : Décroît et tend vers 20.

T(t)=20+(T(0)−20)e⁻ᵏᵗ. L’écart positif à 20 diminue vers 0.

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QUESTION 17 · Équations différentielles y″ + ω 2 y = 0 — Approfondissement

Approfondissement : les solutions de y″+4y=0 sont :

  1. y(x)=Ae²ˣ+Be⁻²ˣ.
  2. y(x)=Acos(2x)+Bsin(2x).
  3. y(x)=Acos(4x)+Bsin(4x).
  4. y(x)=Ax+B.
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Réponse B : y(x)=Acos(2x)+Bsin(2x).

L’équation y″+ω²y=0 a pour solutions Acos(ωx)+Bsin(ωx), ici ω=2.

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QUESTION 18 · Équations différentielles y″ + ω 2 y = 0 — Approfondissement

Approfondissement : quelle solution de y″+y=0 vérifie y(0)=1 et y′(0)=0 ?

  1. y(x)=sin(x)
  2. y(x)=eˣ
  3. y(x)=cos(x)
  4. y(x)=cos(2x)
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Réponse C : y(x)=cos(x)

Dans Acos(x)+Bsin(x), y(0)=A et y′(0)=B ; donc A=1 et B=0.

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QUESTION 19 · Équations différentielles y″ + ω 2 y = 0 — Approfondissement

Approfondissement : quelle solution de y″+4y=0 vérifie y(0)=0 et y′(0)=2 ?

  1. y(x)=2sin(2x)
  2. y(x)=cos(2x)
  3. y(x)=sin(x)
  4. y(x)=sin(2x)
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Réponse D : y(x)=sin(2x)

Acos(2x)+Bsin(2x) donne A=0 et 2B=2, donc B=1.

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QUESTION 20 · Équations différentielles y″ + ω 2 y = 0 — Approfondissement

Approfondissement : quelle est la période fondamentale de y(x)=cos(3x) ?

  1. 2π/3
  2. 2π
  3. 3π
  4. 6π
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Réponse A : 2π/3

Pour cos(ωx), la période fondamentale est 2π/|ω| ; ici ω=3.

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