20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Fonctions logarithmiques : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Définition du logarithme népérien

Dans ℝ, ln(x) est défini exactement lorsque :

  1. x≥0
  2. x≠0
  3. x<0
  4. x>0
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Réponse D : x>0

Le logarithme népérien est défini sur ]0 ; +∞[ ; 0 en est exclu.

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QUESTION 2 · Conséquences immédiates

Que vaut ln(1) ?

  1. 0
  2. 1
  3. e
  4. −1
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Réponse A : 0

Comme e⁰=1, on a ln(1)=0.

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QUESTION 3 · Conséquences immédiates

Que vaut ln(e) ?

  1. 0
  2. 1
  3. e
  4. 1/e
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Réponse B : 1

Comme e¹=e, ln(e)=1.

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QUESTION 4 · Relation fonctionnelle fondamentale et propriétés algébriques

Pour a>0 et b>0, ln(ab) vaut :

  1. ln(a)·ln(b)
  2. ln(a)−ln(b)
  3. ln(a)+ln(b)
  4. ln(a+b)
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Réponse C : ln(a)+ln(b)

Le logarithme transforme un produit de nombres positifs en somme.

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QUESTION 5 · Conséquences usuelles

Pour a>0, ln(1/a) vaut :

  1. 1/ln(a)
  2. ln(a)
  3. 1−ln(a)
  4. −ln(a)
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Réponse D : −ln(a)

ln(1/a)=ln(1)−ln(a)=−ln(a).

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QUESTION 6 · Dérivée de ln

Pour x>0, quelle est la dérivée de ln(x) ?

  1. 1/x
  2. ln(x)/x
  3. x
  4. −1/x²
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Réponse A : 1/x

La dérivée usuelle de ln est la fonction inverse.

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QUESTION 7 · Limites aux bornes

Quelle est la limite de ln(x) lorsque x→0⁺ ?

  1. 0
  2. −∞
  3. 1
  4. +∞
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Réponse B : −∞

La droite x=0 est une asymptote verticale et ln(x) tend vers −∞ à droite.

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QUESTION 8 · Dérivée et sens de variation

Sur ]0 ; +∞[, ln est :

  1. Strictement décroissante.
  2. Constante.
  3. Strictement croissante.
  4. Positive partout.
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Réponse C : Strictement croissante.

Sa dérivée 1/x est positive ; ses valeurs restent négatives entre 0 et 1.

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QUESTION 9 · Dérivée d’une fonction composée ln(u(x))

Quel est le domaine de f(x)=ln(2x−4) ?

  1. [2 ; +∞[
  2. ℝ privé de 2
  3. ]−∞ ; 2[
  4. ]2 ; +∞[
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Réponse D : ]2 ; +∞[

Il faut 2x−4>0, donc x>2.

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QUESTION 10 · Dérivée d’une fonction composée ln(u(x))

Pour x>2, quelle est la dérivée de ln(2x−4) ?

  1. 1/(x−2)
  2. 1/(2x−4)
  3. 2/(x−2)
  4. ln(2)/(x−2)
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Réponse A : 1/(x−2)

La dérivée vaut 2/(2x−4)=1/(x−2).

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QUESTION 11 · Équations et inéquations logarithmiques

Résoudre ln(x)=2 donne :

  1. x=2e
  2. x=e²
  3. x=ln(2)
  4. x=2
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Réponse B : x=e²

En appliquant l’exponentielle, x=e², qui est positif.

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QUESTION 12 · Équations et inéquations logarithmiques

Pour x>0, ln(x)≤0 équivaut à :

  1. x≥1
  2. x≤0
  3. 0<x≤1
  4. 0<x≤e
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Réponse C : 0<x≤1

ln est croissante et ln(1)=0 ; on conserve la condition x>0.

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QUESTION 13 · Équations et inéquations logarithmiques

Résoudre ln(x−1)=ln(3) donne :

  1. x=3
  2. x=2
  3. x=ln(3)+1
  4. x=4
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Réponse D : x=4

L’injectivité donne x−1=3, d’où x=4, compatible avec x>1.

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QUESTION 14 · Croissances comparées faisant intervenir ln

Quelle est la limite de ln(x)/x lorsque x→+∞ ?

  1. 0
  2. 1
  3. +∞
  4. −∞
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Réponse A : 0

La croissance de x domine celle de ln(x).

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QUESTION 15 · Tangentes remarquables

Quelle est la tangente à y=ln(x) au point d’abscisse 1 ?

  1. y=x+1
  2. y=x−1
  3. y=1−x
  4. y=x
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Réponse B : y=x−1

ln(1)=0 et ln′(1)=1, donc y=x−1.

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QUESTION 16 · Équations et inéquations logarithmiques

Résoudre ln(x)+ln(x−1)=ln(2) donne :

  1. x=−1 ou x=2
  2. x=−1
  3. x=2
  4. x=1
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Réponse C : x=2

Le domaine impose x>1. x(x−1)=2 donne x=2 ou −1, mais seul 2 est admissible.

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QUESTION 17 · Conséquences usuelles

Pour x≠0, ln(x²) est égal à :

  1. 2ln(x) pour tout x≠0
  2. (ln(|x|))²
  3. ln(|x|)+2
  4. 2ln(|x|)
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Réponse D : 2ln(|x|)

x²=|x|² avec |x|>0, donc ln(x²)=2ln(|x|).

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QUESTION 18 · Logarithme décimal

Que vaut log₁₀(1000) ?

  1. 3
  2. 100
  3. 10
  4. ln(1000)
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Réponse A : 3

1000=10³, donc son logarithme décimal vaut 3.

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QUESTION 19 · Dérivée d’une fonction composée ln(u(x))

Quelle est la dérivée de ln(x²+1) sur ℝ ?

  1. 1/(x²+1)
  2. 2x/(x²+1)
  3. 2/(x²+1)
  4. 2x·ln(x²+1)
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Réponse B : 2x/(x²+1)

L’argument est toujours positif ; u′/u donne 2x/(x²+1).

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QUESTION 20 · Croissances comparées faisant intervenir ln

Quelle est la limite de x·ln(x) lorsque x→0⁺ ?

  1. −∞
  2. 1
  3. 0
  4. +∞
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Réponse C : 0

En posant t=1/x, xln(x)=−ln(t)/t, qui tend vers 0.

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