20 QUESTIONS · RÉPONSES EXPLIQUÉES

Fonctions exponentielles : QCM corrigés de Terminale

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QUESTION 1 · Définition et existence de la fonction exponentielle

Quelle est la valeur de e⁰ ?

  1. 0
  2. e
  3. 1
  4. −1
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Réponse C : 1

La fonction exponentielle vérifie exp(0)=1.

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QUESTION 2 · Relation fonctionnelle fondamentale

Pour tous réels a et b, eᵃ·eᵇ vaut :

  1. eᵃᵇ
  2. eᵃ+eᵇ
  3. eᵃ⁻ᵇ
  4. eᵃ⁺ᵇ
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Réponse D : eᵃ⁺ᵇ

La relation fonctionnelle transforme une somme d’exposants en produit.

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QUESTION 3 · Conséquences immédiates

Pour tout réel x, e⁻ˣ vaut :

  1. 1/eˣ
  2. −eˣ
  3. 1−eˣ
  4. eˣ−1
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Réponse A : 1/eˣ

eˣ·e⁻ˣ=e⁰=1, donc les deux nombres sont inverses.

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QUESTION 4 · Dérivée et sens de variation

Quelle est la dérivée de eˣ ?

  1. xeˣ
  2. eˣ
  3. eˣ⁻¹
  4. 1/eˣ
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Réponse B : eˣ

La fonction exponentielle est égale à sa dérivée.

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QUESTION 5 · Dérivée et sens de variation

Sur ℝ, la fonction exponentielle est :

  1. Strictement décroissante.
  2. Constante.
  3. Strictement croissante.
  4. Croissante seulement pour x≥0.
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Réponse C : Strictement croissante.

Sa dérivée eˣ est strictement positive pour tout réel x.

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QUESTION 6 · Limites aux bornes

Quelle est la limite de eˣ lorsque x→−∞ ?

  1. −∞
  2. 1
  3. +∞
  4. 0
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Réponse D : 0

L’exponentielle tend vers 0 en restant positive lorsque x tend vers −∞.

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QUESTION 7 · Limites aux bornes

Quelle est la limite de eˣ lorsque x→+∞ ?

  1. +∞
  2. 0
  3. 1
  4. −∞
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Réponse A : +∞

L’exponentielle croît sans borne vers +∞.

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QUESTION 8 · Dérivée d’une fonction composée exp(u(x))

Quelle est la dérivée de e³ˣ⁻² ?

  1. e³ˣ⁻²
  2. 3e³ˣ⁻²
  3. (3x−2)e³ˣ⁻²
  4. −2e³ˣ⁻²
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Réponse B : 3e³ˣ⁻²

Pour exp(u), la dérivée est u′exp(u) ; ici u′=3.

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QUESTION 9 · Dérivée d’une fonction composée exp(u(x))

Quelle est la dérivée de eˣ² ?

  1. eˣ²
  2. 2eˣ²
  3. 2xeˣ²
  4. x²eˣ²
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Réponse C : 2xeˣ²

La fonction intérieure x² a pour dérivée 2x.

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QUESTION 10 · Équations et inéquations exponentielles

Résoudre e²ˣ⁻¹=e³ donne :

  1. x=1
  2. x=3
  3. x=4
  4. x=2
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Réponse D : x=2

L’exponentielle est injective : 2x−1=3, donc x=2.

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QUESTION 11 · Équations et inéquations exponentielles

L’équation eˣ=−2 admet dans ℝ :

  1. Aucune solution.
  2. La solution −2.
  3. La solution ln(2).
  4. La solution 0.
Voir la réponse et l’explication

Réponse A : Aucune solution.

L’exponentielle est toujours strictement positive.

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QUESTION 12 · Équations et inéquations exponentielles

L’inéquation e²ˣ≤e⁶ équivaut à :

  1. x≥3
  2. x≤3
  3. x≤6
  4. x≥6
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Réponse B : x≤3

La stricte croissance permet d’écrire 2x≤6, soit x≤3.

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QUESTION 13 · Lien avec le logarithme népérien

Quelle est la solution de eˣ=5 ?

  1. 5
  2. 1/5
  3. ln(5)
  4. e⁵
Voir la réponse et l’explication

Réponse C : ln(5)

Le logarithme népérien est la réciproque de l’exponentielle.

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QUESTION 14 · Croissances comparées faisant intervenir e x

Quelle est la limite de xe⁻ˣ lorsque x→+∞ ?

  1. 1
  2. +∞
  3. −∞
  4. 0
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Réponse D : 0

xe⁻ˣ=x/eˣ ; l’exponentielle domine la puissance x.

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QUESTION 15 · Convexité et inégalité de référence

Quelle inégalité est vraie pour tout réel x ?

  1. eˣ≥1+x.
  2. eˣ≤1+x.
  3. eˣ≤x.
  4. eˣ≥x²+1.
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Réponse A : eˣ≥1+x.

La convexité place la courbe au-dessus de sa tangente en 0, d’équation y=1+x.

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QUESTION 16 · Équations et inéquations exponentielles

Résoudre e²ˣ−3eˣ+2=0 donne :

  1. x=1 ou x=2.
  2. x=0 ou x=ln(2).
  3. x=−1 ou x=−2.
  4. Aucune solution.
Voir la réponse et l’explication

Réponse B : x=0 ou x=ln(2).

Avec t=eˣ>0, t²−3t+2=(t−1)(t−2)=0. D’où eˣ=1 ou 2.

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QUESTION 17 · Dérivée d’une fonction composée exp(u(x))

Pour f(x)=xe⁻ˣ, à quelle abscisse atteint-on le maximum sur [0 ; +∞[ ?

  1. 0
  2. 2
  3. 1
  4. Il n’y a pas de maximum.
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Réponse C : 1

f′(x)=(1−x)e⁻ˣ ; elle est positive avant 1 et négative après.

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QUESTION 18 · Exponentielle de base a

Quelle est la dérivée de 2ˣ ?

  1. x·2ˣ⁻¹
  2. 2ˣ
  3. 2·2ˣ
  4. ln(2)·2ˣ
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Réponse D : ln(2)·2ˣ

2ˣ=eˣˡⁿ⁽²⁾, donc la dérivée est ln(2)·2ˣ.

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QUESTION 19 · Croissances comparées faisant intervenir e x

Quelle est la limite de eˣ/x³ lorsque x→+∞ ?

  1. +∞
  2. 0
  3. 1
  4. 3
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Réponse A : +∞

L’exponentielle croît plus vite que toute puissance entière positive de x.

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QUESTION 20 · Relation fonctionnelle fondamentale

Pour tout réel x, eˣ⁺¹/eˣ vaut :

  1. 1
  2. e
  3. eˣ
  4. x+1
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Réponse B : e

Le quotient vaut e⁽ˣ⁺¹⁾⁻ˣ=e¹=e.

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