Limites des fonctions

Comprendre une limite

Une limite décrit le comportement des valeurs de la fonction lorsque x s’approche d’un nombre, ou devient très grand en valeur absolue. La fonction peut avoir une limite en un point où elle n’est pas définie. Distinguez donc toujours la valeur au point et le comportement autour.

Commencer par le domaine

Avant de calculer, précisez le domaine et le côté d’approche. Pour un sur x, zéro est exclu. Quand x approche zéro par valeurs positives, les valeurs deviennent arbitrairement grandes et positives. Par valeurs négatives, elles deviennent arbitrairement grandes en valeur absolue, mais négatives.

Comparer gauche et droite

Les deux limites latérales sont différentes : on ne doit pas annoncer une limite unique en zéro. La droite d’équation x égal zéro est une asymptote verticale. Le signe du dénominateur près du point explique ici le signe de l’infini obtenu de chaque côté.

Limites à l’infini

À l’infini, un sur x tend vers zéro : la droite y égal zéro est une asymptote horizontale. Cela ne signifie pas que la fonction atteint zéro. Une limite indique une proximité aussi grande qu’on le souhaite, pas nécessairement une égalité pour une valeur de x.

Repérer une indétermination

Ces écritures symboliques signalent des formes indéterminées : elles ne donnent aucune réponse à elles seules. Il faut transformer l’expression. Les outils usuels sont la factorisation, la division par le terme dominant ou la multiplication par l’expression conjuguée lorsqu’une racine carrée intervient.

Exemple près d’un point

Cherchons la limite en un. Remplacer directement x donne zéro sur zéro. On factorise le numérateur en x moins un fois x plus un, puis on simplifie pour x différent de un. L’expression devient x plus un, dont la limite vaut deux.

Exemple à l’infini

On divise le numérateur et le dénominateur par x au carré, leur puissance dominante. Un sur x et deux sur x au carré tendent vers zéro. Il reste trois sur un. Cette méthode permet de justifier le résultat, au lieu de seulement comparer visuellement les degrés.

Encadrer une fonction

Le théorème des gendarmes est utile lorsqu’une expression oscille. Pour x positif, sinus x sur x est compris entre moins un sur x et un sur x. Les deux bornes tendent vers zéro à plus l’infini : la fonction au milieu tend donc aussi vers zéro.

Une racine au numérateur

Cette limite présente la forme indéterminée infini moins infini. La racine et x deviennent tous deux très grands, mais leur différence peut rester finie. Il ne faut donc pas conclure zéro. Le bon outil est l’expression conjuguée : on multiplie le numérateur et le dénominateur par racine de x carré plus x, plus x.

Faire apparaître une différence de carrés

L’identité remarquable transforme le numérateur en x carré plus x moins x carré, donc simplement x. On a ainsi remplacé une différence difficile par un quotient. L’égalité est valable pour x strictement positif, ce qui convient puisque l’on étudie le comportement à plus l’infini. Le dénominateur obtenu est alors strictement positif.

Terminer le calcul

On divise par x. Comme x est positif, racine de x carré vaut x, et non moins x. Le quotient devient un sur racine de un plus un sur x, plus un. Un sur x tend vers zéro : le dénominateur tend vers deux. La limite est donc un demi,

Un contrôle de méthode

Essayez maintenant cette limite en deux avant de consulter la solution. Le numérateur se factorise en x moins deux fois x plus deux. Pour x différent de deux, on simplifie et la limite vaut quatre. L’expression initiale reste non définie en deux : obtenir une limite ne crée pas automatiquement une valeur de la fonction en ce point.

Méthode et vérification

Pour vérifier votre méthode, cherchez cette dernière limite. Divisez par x : vous obtenez deux plus un sur x, donc deux. Dans chaque exercice, suivez le même ordre : domaine, point et côté d’approche, substitution éventuelle, transformation si nécessaire, puis conclusion rédigée. Un graphique aide à conjecturer ; le calcul justifie.