CHAPITRE 01 · TERMINALE

Suites numériques

Cours de révision, méthodes et exemples corrigés pour consolider les notions essentielles. Pour retrouver toutes les démonstrations et les exercices du livre, poursuivez dans le manuel interactif.

Dans ce cours
  1. Définir une suite
  2. Deux façons de la donner
  3. Suite arithmétique
  4. Suite géométrique
  5. Étudier les variations
  6. Passer à la limite
  7. Sommer les termes
  8. Exemple guidé
  9. Un modèle récurrent
  10. Changer de suite
  11. Conclure et représenter
  12. À chercher avant la correction
  13. À vous de vérifier

Définir une suite

u:N⟶R,n⟼unu:\mathbb N\longrightarrow\mathbb R,\quad n\longmapsto u_n

Une suite associe un nombre à chaque entier naturel. L’indice indique le rang, et u indice n désigne la valeur au rang n. Avant tout calcul, repérez le premier indice et le premier terme : commencer à zéro ou à un change les formules explicites.

Deux façons de la donner

un=2n+3v0=3,vn+1=2vn\begin{aligned}u_n&=2n+3\\v_0&=3,\quad v_{n+1}=2v_n\end{aligned}

Une formule explicite permet de calculer directement un terme. Ici, u indice cinq vaut treize. Une relation de récurrence utilise le terme précédent : avec v zéro égal à trois, on obtient six, puis douze. Il faut donc une valeur initiale pour déterminer la suite.

Suite arithmétique

un+1=un+r⟹un=u0+nru_{n+1}=u_n+r\quad\Longrightarrow\quad u_n=u_0+nr

Une suite arithmétique ajoute toujours la même raison r. Pour la reconnaître, calculez la différence entre deux termes consécutifs et prouvez qu’elle est constante. Si le premier terme vaut cinq et la raison vaut trois, le terme de rang quatre vaut dix-sept.

Suite géométrique

un+1=qun⟹un=u0qnu_{n+1}=q u_n\quad\Longrightarrow\quad u_n=u_0q^n

Une suite géométrique multiplie chaque terme par la même raison q. Une baisse de vingt pour cent correspond à multiplier par zéro virgule huit. Attention : un pourcentage constant produit une suite géométrique, tandis qu’une quantité ajoutée constante produit une suite arithmétique.

Étudier les variations

un+1−un≥0⟹(un) croissanteu_{n+1}-u_n\geq0\quad\Longrightarrow\quad (u_n)\text{ croissante}

Pour étudier les variations, déterminez le signe de la différence entre le terme suivant et le terme actuel, pour tous les rangs concernés. Un quotient peut aussi servir si les termes sont strictement positifs. Quelques valeurs calculées suggèrent un comportement, mais ne constituent pas une démonstration.

Passer à la limite

∣q∣<1⟹lim⁡n→+∞qn=0|q|<1\quad\Longrightarrow\quad \lim_{n\to+\infty}q^n=0

Une puissance géométrique de raison comprise strictement entre moins un et un tend vers zéro. Autre résultat : une suite croissante et majorée converge. Sa monotonie seule ne suffit pas : la suite des entiers est croissante, mais elle tend vers plus l’infini.

Sommer les termes

∑k=0nqk=1−qn+11−q(q≠1)\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}\quad(q\ne1)

Pour additionner des termes géométriques, utilisez cette formule en comptant correctement les termes. De zéro à n, il y en a n plus un. Pour une suite arithmétique, la somme vaut le nombre de termes multiplié par la moyenne du premier et du dernier.

Exemple guidé

u0=100,un+1=0,8unun=100(0,8)n,lim⁡un=0\begin{aligned}u_0&=100,\quad u_{n+1}=0{,}8u_n\\u_n&=100(0{,}8)^n,\quad \lim u_n=0\end{aligned}

Dans cet exemple, on reconnaît une suite géométrique de raison zéro virgule huit. Les trois premiers termes sont cent, quatre-vingts et soixante-quatre. Ils restent positifs et diminuent. La formule explicite permet ensuite de calculer n’importe quel terme et de conclure que la limite est zéro.

Application guidée et entraînement

Un modèle récurrent

un+1=0,5un+3,u0=10u_{n+1}=0{,}5u_n+3,\quad u_0=10

Cette nouvelle suite n’est ni arithmétique ni géométrique. On cherche d’abord une valeur d’équilibre : un nombre qui reste inchangé après l’opération. En résolvant l’équation l égale zéro virgule cinq l plus trois, on obtient six. Cela suggère de mesurer l’écart entre chaque terme et six, sans encore affirmer que la suite converge.

Changer de suite

vn=un−6⇒vn+1=0,5vnv_n=u_n-6\quad\Rightarrow\quad v_{n+1}=0{,}5v_n

Posons v indice n égal u indice n moins six. La relation de récurrence devient v indice n plus un égal zéro virgule cinq fois v indice n. Cette fois, la suite est géométrique. Son premier terme vaut quatre, donc v indice n vaut quatre fois zéro virgule cinq puissance n. Nous disposons maintenant d’une formule explicite.

Conclure et représenter

un=6+4(0,5)n⟶6u_n=6+4(0{,}5)^n\longrightarrow6

On revient à la suite initiale en ajoutant six. Les premiers termes sont dix, huit, sept et six virgule cinq. Dans une représentation graphique, les points se rapprochent de la droite horizontale de hauteur six, tout en restant au-dessus. La formule démontre cette convergence : la puissance tend vers zéro. L’observation graphique confirme le calcul, mais ne le remplace pas.

À chercher avant la correction

un<6,1⟺4(0,5)n<0,1u_n<6{,}1\quad\Longleftrightarrow\quad 4(0{,}5)^n<0{,}1

À partir de quel rang la suite devient-elle strictement inférieure à six virgule un ? Testez les puissances successives avant de lire la solution. Au rang cinq, l’écart vaut zéro virgule cent vingt-cinq : c’est encore trop. Au rang six, il vaut zéro virgule zéro six cent vingt-cinq : la condition est satisfaite, puis le reste puisque la suite décroît.

À vous de vérifier

u0=7,un+1=un−2:u3=?u_0=7,\quad u_{n+1}=u_n-2:\quad u_3=?

Cherchez le terme de rang trois. La raison est moins deux, donc les termes sont sept, cinq, trois, puis un. Retenez la méthode : identifier le type de suite, écrire la formule, puis justifier les variations et la limite.